Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o extremo pedido.
Seja
. Determine o valor mínimo de
com a restrição de que
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede o mínimo da função
sujeito à restrição
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que basta definir
e resolver o sistema
mais a restrição.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Temos
e ainda a restrição
Passo 3
Da primeira equação obtemos
Substituindo em
, multiplicamos por 2 para simplificar:
Passo 4
Agora usamos a restrição
:
e portanto
Passo 5
O valor de
em
é
Como a forma quadrática associada a
é definida positiva, este ponto é um mínimo.
Resposta
O valor mínimo de
sob a restrição
é
.