Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o extremo pedido.
Seja f(x, y)=x^2+2 y^2-x y. Determine o valor mínimo de f(x, y) com a restrição de que 2 x+y=22.

Passo 1

O enunciado pede o mínimo da função
f(x,y)=x^2+2y^2-xy
sujeito à restrição
2x+y=22
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que basta definir
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(2x+y-22r)
e resolver o sistema nabla L=0 mais a restrição.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de L. Temos
partial Lpartial x=2x - y -2lambda=0,
partial Lpartial y=4y - x -lambda=0,
e ainda a restrição
2x + y - 22=0

Passo 3

Da primeira equação obtemos
2x - y = 2lambda Longrightarrow lambda=2x-y2
Substituindo em ,4y - x -lambda=0, multiplicamos por 2 para simplificar:
2(4y - x) - (2x-y)=0 ;Longrightarrow; 8y -2x -2x + y=0 ;Longrightarrow; 9y-4x=0 ;Longrightarrow; x=9y4

Passo 4

Agora usamos a restrição 2x+y=22:
2!l(tfrac9y4r)+y=22 ;Longrightarrow; 9y2+y=22 ;Longrightarrow; 11y2=22 ;Longrightarrow; y=4,
e portanto
x=9cdot44=9

Passo 5

O valor de f em (9,4) é
f(9,4)=9^2+2cdot4^2-9cdot4 =81+32-36=77
Como a forma quadrática associada a f é definida positiva, este ponto é um mínimo.

Resposta

O valor mínimo de f(x,y) sob a restrição 2x+y=22 é ,77.

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