Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o extremo pedido.
Seja
. Determine o valor mínimo da função
com a restrição de que
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função
sujeita à restrição linear
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz para formar a função
e impor
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
e a restrição
Das duas primeiras igualdades obtemos expressões para
:
Passo 3
Igualando as duas formas de
:
Usando
(isto é,
), substituímos:
Logo
.
Passo 4
Calculamos o valor de
no ponto
:
Passo 5
Como a matriz Hessiana de
,
é definida positiva (det
H =23 >
0 e elemento
H11=4>0 ), concluímos que este ponto fornece o mínimo global sob a restrição.
Resposta
O valor mínimo de
f(x,y) sujeito a
x+y=15 é
-18 .