Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o extremo pedido.
Seja f(x, y)=2 x^2+4 y^2-3 x y-2 x-23 y+3. Determine o valor mínimo da função f(x, y) com a restrição de que x+y=15.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função
f(x,y) = 2x^2 + 4y^2 - 3xy - 2x - 23y + 3
sujeita à restrição linear
x + y = 15
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz para formar a função
L(x,y,lambda) = f(x,y) - lambda,(x+y-15)
e impor nabla L = 0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de L:
partial Lpartial x = 4x - 3y - 2 ;-;lambda = 0,
partial Lpartial y = 8y - 3x - 23 ;-;lambda = 0,
e a restrição
x + y = 15
Das duas primeiras igualdades obtemos expressões para lambda:
lambda = 4x - 3y - 2, lambda = 8y - 3x - 23

Passo 3

Igualando as duas formas de lambda:
4x - 3y - 2 = 8y - 3x - 23 Longrightarrow 7x - 11y = -21
Usando x + y = 15 (isto é, x=15-y), substituímos:
7(15-y) - 11y = -21 Longrightarrow 105 - 7y - 11y = -21 Longrightarrow -18y = -126 Longrightarrow y = 7
Logo x = 15 - 7 = 8.

Passo 4

Calculamos o valor de f no ponto (8,7):
f(8,7) = 2cdot8^2 + 4cdot7^2 - 3cdot8cdot7 - 2cdot8 - 23cdot7 + 3 =128 +196 -168 -16 -161 +3 = -18

Passo 5

Como a matriz Hessiana de f,
H = 4 & -3 -3 & 8,
é definida positiva (det H =23> 0 e elemento H11=4>0), concluímos que este ponto fornece o mínimo global sob a restrição.

Resposta

O valor mínimo de f(x,y) sujeito a x+y=15 é -18.

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