Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)=\left{ \begin{array}{l}1,0<x<a \\ 0, x>a\end{array}\right… Considere f par.

Passo 1

O enunciado pede para representar por integral de Fourier a função par
f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<a,\\\\ 0, & x>a, \end{cases}
assumindo f(x)=f(-x). O conteúdo é a transformada de Fourier para funções pares, que leva à forma de transformada cosseno.

Passo 2

Para uma função par f, a representação por integral de Fourier é
f(x)=\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega,
onde
A(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)\,dt.

Passo 3

Como f(t)=1 só em 0<t<a e zerada para t>a, a integral para A(\omega) reduz-se a
A(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{a}\cos(\omega t)\,dt.

Passo 4

Calculando
\int_{0}^{a}\cos(\omega t)\,dt =\Bigl[\tfrac{\sin(\omega t)}{\omega}\Bigr]_{0}^{a} =\frac{\sin(\omega a)}{\omega},
logo
A(\omega)=\frac{2}{\pi}\,\frac{\sin(\omega a)}{\omega}.

Passo 5

Substituindo A(\omega) na fórmula de f(x), obtemos
f(x) =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{\pi}\,\frac{\sin(\omega a)}{\omega}\Bigr)\cos(\omega x)\,d\omega =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\omega a)}{\omega}\,\cos(\omega x)\,d\omega.

Resposta

f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\omega a)}{\omega}\,\cos(\omega x)\,d\omega.

Exercícios relacionados