Qual o maior valor inteiro que k pode assumir para que a equação 2 x^2+2 y^2-10 x+10 y+5 k=0, represente uma circunferência ( lambda )? Obs.: Responda apenas com valores numéricos, ex.: 3 ou 1,71 ou 1,8 ou 10 . Valores negativos, ex.: -3 ou -1,71 ou -1,8 ou -10 , etc.

Passo 1

O enunciado dá a equação
2x^2+2y^2-10x+10y+5k=0
e pede o maior valor inteiro de k para que isso seja uma circunferência. Para isso, precisamos ter coeficientes de x^2 e y^2 iguais e positivos (já satisfazido) e raio real estritamente positivo.

Passo 2

Dividindo tudo por 2 e completando quadrados:
x^2-5x + y^2+5y + 5k2=0
Agora
x^2-5x = (x-tfrac52)^2-tfrac254, y^2+5y = (y+tfrac52)^2-tfrac254,
então
(x-tfrac52)^2 + (y+tfrac52)^2 - 254 - 254 + 5k2 = 0,
ou seja
(x-tfrac52)^2 + (y+tfrac52)^2 = 25-5k2

Passo 3

Para ser circunferência com raio real positivo, precisamos de
25-5k2 > 0 Longrightarrow 25-5k > 0 Longrightarrow k < 5
Como k é inteiro, o maior valor possível é k=4.

Resposta

4

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