Sabendo que y1(x)=x^2 e y2(x)=x^-1 são soluções linearmente independentes da EDO
x^3 y^prime prime-2 x y=0, x>0,
resolva a EDO
x^3 y^prime prime-2 x y=-3, x>0

Passo 1

A EDO a resolver é x^3 y'' - 2x y = -3 para x>0. Já conhecemos as duas soluções do homogêneo y1(x)=x^2 e y2(x)=x^-1. O tópico aqui é EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Dividimos a equação por x^3 para pôr na forma padrão:
y'' - 2x^2,y = -3x^3
Assim, temos p(x)=0, q(x)=-2/x^2 e g(x)=-3/x^3. Calculamos o Wronskiano das soluções do homogêneo:
W(y1,y2)=y1y2'-y1'y2=x^2cdot(-x^-2)-2xcdot x^-1=-3,
que é não nulo, confirmando a independência.

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, buscamos yp(x)=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) com
u1'(x)=-y2(x),g(x)W(x), u2'(x)=y1(x),g(x)W(x)
Substituindo y1, y2, g e W, obtemos
u1'(x)=-x^-1cdot(-3x^-3)-3=-x^-4, u2'(x)=x^2cdot(-3x^-3)-3=x^-1

Passo 4

Integramos para achar u1 e u2:
$$
u_1(x)=
\int -x{-4},dx=\frac{1}{3x3},\quad
u_2(x)=
\int x^{-1},dx=\ln x.
u1(x)= integral -x^-4,dx=13x^3, u2(x)= integral x^-1,dx=ln x çãé
y_p(x)=\frac{1}{3x3},x2+\ln x\cdot x^{-1}=\frac{1}{3x}+\frac{\ln x}{x}.
$$

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é a soma da solução geral do homogêneo com a particular. Assim,
y(x)=C1x^2+C2x^-1+ln x+tfrac13x

Resposta

y(x)=C1x^2+C2x^-1+ln x+1/3x

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