Sabendo que
e
são soluções linearmente independentes da EDO
resolva a EDO
Passo 1
A EDO a resolver é
para
. Já conhecemos as duas soluções do homogêneo
e
. O tópico aqui é EDO linear de 2ª ordem não homogênea e vamos usar o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Dividimos a equação por
para pôr na forma padrão:
Assim, temos
,
e
. Calculamos o Wronskiano das soluções do homogêneo:
que é não nulo, confirmando a independência.
Passo 3
Pelo método de variação de parâmetros, buscamos
com
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 4
Integramos para achar
e
:
$$
u_1(x)=
\int -x{-4},dx=\frac{1}{3x3},\quad
u_1(x)=
\int -x{-4},dx=\frac{1}{3x3},\quad
u_2(x)=
\int x^{-1},dx=\ln x.
\int x^{-1},dx=\ln x.
y_p(x)=\frac{1}{3x3},x2+\ln x\cdot x^{-1}=\frac{1}{3x}+\frac{\ln x}{x}.
$$
Passo 5
A solução geral da EDO não homogênea é a soma da solução geral do homogêneo com a particular. Assim,