Questão 1: Use o Teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional ao longo de
em cada caso:
é a porção do paraboloide
com
, com orientação positiva e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
, que é a parte do paraboloide
com
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, como calcular o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o teorema para encontrar o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície
com a integral de linha de
ao longo da borda de
. Matemática falando, é:
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos identificar a curva limite
de
.
Passo 3
No nosso caso, a superfície
é a parte do paraboloide
com
. A borda dessa superfície ocorre quando
, ou seja:
Então, a curva limite
é o círculo
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Para
, temos:
Passo 5
Com o rotacional calculado, segundo o Teorema de Stokes, temos:
Então, precisamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva
, que é o círculo
no plano
.
Passo 6
Para parametrizar a curva
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
Então, o vetor posição é:
E o diferencial
é:
Passo 7
Agora, substituímos
na parametrização da curva:
A integral de linha fica então:
Passo 8
Calculando o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral de linha é:
Passo 9
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O fluxo do rotacional de
sobre a superfície
é
.