Questão 1: Use o Teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional ao longo de S em cada caso:
S é a porção do paraboloide z=1-x^2-y^2 com z >= 0, com orientação positiva e
F(x, y, z)=(y, z, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (y, z, x) sobre a superfície S, que é a parte do paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 com z >= 0. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, como calcular o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o teorema para encontrar o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda de S. Matemática falando, é:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Então, para usar o Teorema de Stokes, precisamos identificar a curva limite partial S de S.

Passo 3

No nosso caso, a superfície S é a parte do paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 com z >= 0. A borda dessa superfície ocorre quando z = 0, ou seja:
1 - x^2 - y^2 = 0 implies x^2 + y^2 = 1
Então, a curva limite partial S é o círculo x^2 + y^2 = 1 no plano z = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Para F(x, y, z) = (y, z, x), temos:
nabla times F = ( partial xpartial y - partial zpartial z, partial ypartial z - partial xpartial x, partial zpartial x - partial ypartial y ) = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)

Passo 5

Com o rotacional calculado, segundo o Teorema de Stokes, temos:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Então, precisamos calcular a integral de linha de F ao longo da curva partial S, que é o círculo x^2 + y^2 = 1 no plano z = 0.

Passo 6

Para parametrizar a curva partial S, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
x = cos theta, y = sin theta, z = 0, theta in [0, 2pi]
Então, o vetor posição é:
r(theta) = (cos theta, sin theta, 0)
E o diferencial dr é:
dr = (-sin theta, cos theta, 0) dtheta

Passo 7

Agora, substituímos F na parametrização da curva:
F(r(theta)) = (y, z, x) = (sin theta, 0, cos theta)
A integral de linha fica então:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi (sin theta, 0, cos theta) cdot (-sin theta, cos theta, 0) dtheta

Passo 8

Calculando o produto escalar dentro da integral:
(sin theta)(-sin theta) + (0)(cos theta) + (cos theta)(0) = -sin^2 theta
Então, a integral de linha é:
integral0^2pi -sin^2 theta dtheta = -integral0^2pi sin^2 theta dtheta

Passo 9

Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 theta dtheta = pi
Portanto:
-integral0^2pi sin^2 theta dtheta = -pi

Resposta

O fluxo do rotacional de F sobre a superfície S é -,pi.

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