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Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ e precisa descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, além de encontrar os pontos onde há máximos ou mínimos locais. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
onde $ u = 2x^{2} $ e $ v = x^{2} - 1 $.
Passo 3
Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
Passo 4
Aplicando na fórmula da derivada:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero ou onde não existe, pois esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou mudanças no crescimento.
E a derivada não existe quando o denominador for zero:
Então, temos pontos críticos em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 7
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 0) $, $ (0, 1) $ e $ (1, \infty) $.
Escolhemos valores de teste em cada intervalo para ver o sinal de $ f’(x) $:
-
Intervalo
: Vamos testar $ x = -2 $ A função está crescendo. -
Intervalo
: Vamos testar $ x = -0.5 $ A função está crescendo. -
Intervalo
: Vamos testar $ x = 0.5 $ A função está diminuindo. -
Intervalo
: Vamos testar $ x = 2 $ A função está diminuindo.
Passo 8
Agora, vamos identificar os extremantes locais analisando os pontos críticos:
-
Em $ x = -1 $ e $ x = 1 $**: A derivada não existe, e a função tem assíntotes verticais nesses pontos. Não são extremos locais, mas sim pontos onde a função não está definida.
-
Em $ x = 0 $:
- À esquerda de 0, $ f’(x) > 0 $ (função crescendo).
- À direita de 0, $ f’(x) < 0 $ (função diminuindo).
Isso indica que $ x = 0 $ é um máximo local.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ está crescendo nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (-1, 0) $, e está diminuindo nos intervalos $ (0, 1) $ e $ (1, \infty) $. Há um máximo local em $ x = 0 $.