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f(x)=2 x^2x^2-1
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Intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.

Passo 1

Beleza! A gente tem a função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ e precisa descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, além de encontrar os pontos onde há máximos ou mínimos locais. Vamos usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se ela está subindo ou descendo.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
f(x)
onde $ u = 2x^{2} $ e $ v = x^{2} - 1 $.

Passo 3

Calculando as derivadas de $ u $ e $ v $:
u
v

Passo 4

Aplicando na fórmula da derivada:
f'(x) = (x^2 - 1)(4x) - (2x^2)(2x)(x^2 - 1)^2 = 4x(x^2 - 1) - 4x^3(x^2 - 1)^2

Passo 5

Simplificando o numerador:
4x(x^2 - 1) - 4x^3 = 4x^3 - 4x - 4x^3 = -4x
Então, a derivada fica:
f'(x) = -4x(x^2 - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero ou onde não existe, pois esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou mudanças no crescimento.
f'(x) = 0 Rightarrow -4x = 0 Rightarrow x = 0
E a derivada não existe quando o denominador for zero:
x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = pm 1
Então, temos pontos críticos em $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 7

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos: $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 0) $, $ (0, 1) $ e $ (1, \infty) $.
Escolhemos valores de teste em cada intervalo para ver o sinal de $ f’(x) $:
  • Intervalo (-infty, -1) : Vamos testar $ x = -2 $
    (-1, 0)
    A função está crescendo.
  • Intervalo (0, 1) : Vamos testar $ x = -0.5 $
    (1, infty)
    A função está crescendo.
  • Intervalo f'(x) : Vamos testar $ x = 0.5 $
    (-∞, -1)
    A função está diminuindo.
  • Intervalo x = -2 : Vamos testar $ x = 2 $
    f'(-2) = -4(-2)((-2)^2 - 1)^2 = 8(4 - 1)^2 = 89 > 0
    A função está diminuindo.

Passo 8

Agora, vamos identificar os extremantes locais analisando os pontos críticos:
  • Em $ x = -1 $ e $ x = 1 $**: A derivada não existe, e a função tem assíntotes verticais nesses pontos. Não são extremos locais, mas sim pontos onde a função não está definida.
  • Em $ x = 0 $:
    • À esquerda de 0, $ f’(x) > 0 $ (função crescendo).
    • À direita de 0, $ f’(x) < 0 $ (função diminuindo).
    Isso indica que $ x = 0 $ é um máximo local.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ está crescendo nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (-1, 0) $, e está diminuindo nos intervalos $ (0, 1) $ e $ (1, \infty) $. Há um máximo local em $ x = 0 $.

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