(0,9) Seja
f(x)=2 x^2x^2-1
Encontre
Assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as assíntotas da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $. Então, estamos trabalhando com um tema de Análise de Funções, mais especificamente com assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função para identificar possíveis assíntotas verticais e horizontais (ou oblíquas, se houver). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são assíntotas verticais. Elas acontecem nos pontos onde a função “explode”, ou seja, onde o denominador se aproxima de zero e o valor da função tende ao infinito. Para encontrar essas assíntotas, precisamos descobrir onde o denominador da função é igual a zero.
Nossa função é $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $. Então, vamos igualar o denominador a zero:
f(x) = 2x^2x^2 - 1
Resolvendo essa equação:
x^2 - 1 = 0
Então, temos duas assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Elas representam o comportamento da função quando $ x $ tende a mais ou menos infinito. Para encontrar a assíntota horizontal de uma função racional (que é uma fração de polinômios), comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
Na nossa função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2 (o maior expoente de $ x $ é 2 em ambos). Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
O coeficiente do $ x^{2} $ no numerador é 2, e no denominador é 1. Então, a assíntota horizontal é:
x
Isso significa que, quando $ x $ fica muito grande ou muito pequeno, a função se aproxima de $ y = 2 $.

Passo 4

Por último, vamos verificar se há assíntotas oblíquas. Essas ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador. No nosso caso, ambos os polinômios têm grau 2, então não teremos assíntotas oblíquas.

Resposta

As assíntotas da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ são:
  • Assíntotas Verticais: $ x = 1 $ e $ x = -1 $
  • Assíntota Horizontal: $ y = 2 $

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