(2,0)Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 c^3 / s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm ? [Volume da esfera: V=43 pi r^3 ]

Passo 1

Resumindo: um balão esférico tem volume crescendo a 100 cm³/s. Precisamos achar a taxa de variação do raio dr/dt quando o diâmetro é 50 cm (logo r=25 cm). Usaremos o conteúdo de taxas relacionadas e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

Escrevemos o volume de uma esfera como
V = 43pi r^3
Para relacionar as taxas, derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, obtendo
dVdt = 4pi r^2 drdt
Essa etapa usa derivação implícita para funções de várias variáveis dependentes do tempo.

Passo 3

Agora substituímos dVdt=100 cm³/s e r=25 cm na equação derivada e resolvemos para drdt:
drdt = 1004pi (25)^2 = 1002500pi = 125pi cm/s

Resposta

125pi cm/s

Exercícios relacionados