Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva
em cada caso:
e C é o quadrado de vértices
e
, orientado positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. Basicamente, isso envolve trabalhar com campos vetoriais e superfícies. Aqui, temos o campo vetorial $ F(x, y, z) = (y z, x y, x z) $ e uma curva $ C $ que é um quadrado no plano $ z = 2 $. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial $ F $ ao longo de uma curva fechada $ C $ é igual à integral da rotacional de $ F $ sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como bordo. Matematicamente, isso é:
Então, nosso primeiro passo é encontrar a rotacional de $ F $.
Passo 3
Vamos calcular a rotacional de $ F $, que é representada por $ \nabla \times \mathbf{F} $. Para um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $, a rotacional é dada por:
Vamos aplicar isso ao nosso $ F(x, y, z) = (y z, x y, x z) $:
- $ F_x = y z $
- $ F_y = x y $
- $ F_z = x z $
Calculando as derivadas parciais:
Então, a rotacional fica:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície $ S $ que tenha $ C $ como bordo. No nosso caso, $ C $ é um quadrado no plano $ z = 2 $, então a superfície mais simples é o próprio quadrado no mesmo plano.
Como a superfície está no plano horizontal, o vetor normal $ \mathbf{n} $ vai apontar na direção do eixo $ z $. Como a orientação da curva $ C $ é positiva (sentido anti-horário quando visto de cima), o vetor normal será $ \mathbf{n} = (0, 0, 1) $.
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar da rotacional $ \nabla \times \mathbf{F} $ com o vetor normal $ \mathbf{n} $:
Mas, como estamos no plano $ z = 2 $, podemos substituir $ z $ por 2:
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a superfície $ S $:
Como $ S $ é o quadrado com vértices de $ (0,0,2) $ a $ (1,1,2) $, os limites de integração para $ y $ vão de 0 a 1 e para $ x $ também de 0 a 1 (já que o quadrado vai de 0 a 1 em ambos os eixos $ x $ e $ y $).
Então, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, integramos isso em relação a $ x $:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva $ C $ é igual a
.