Questão 2: Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ao longo da curva C em cada caso:
F(x, y, z)=(y z, x y, x z) e C é o quadrado de vértices (0,0,2),(1,0,2),(1,1,2) e (0,1,2), orientado positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. Basicamente, isso envolve trabalhar com campos vetoriais e superfícies. Aqui, temos o campo vetorial $ F(x, y, z) = (y z, x y, x z) $ e uma curva $ C $ que é um quadrado no plano $ z = 2 $. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial $ F $ ao longo de uma curva fechada $ C $ é igual à integral da rotacional de $ F $ sobre uma superfície $ S $ que tem $ C $ como bordo. Matematicamente, isso é:
F
Então, nosso primeiro passo é encontrar a rotacional de $ F $.

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de $ F $, que é representada por $ \nabla \times \mathbf{F} $. Para um campo vetorial $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $, a rotacional é dada por:
F
Vamos aplicar isso ao nosso $ F(x, y, z) = (y z, x y, x z) $:
  • $ F_x = y z $
  • $ F_y = x y $
  • $ F_z = x z $
Calculando as derivadas parciais:
nabla times F
F = (Fx, Fy, Fz)
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Então, a rotacional fica:
F(x, y, z) = (y z, x y, x z)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície $ S $ que tenha $ C $ como bordo. No nosso caso, $ C $ é um quadrado no plano $ z = 2 $, então a superfície mais simples é o próprio quadrado no mesmo plano.
Como a superfície está no plano horizontal, o vetor normal $ \mathbf{n} $ vai apontar na direção do eixo $ z $. Como a orientação da curva $ C $ é positiva (sentido anti-horário quando visto de cima), o vetor normal será $ \mathbf{n} = (0, 0, 1) $.

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar da rotacional $ \nabla \times \mathbf{F} $ com o vetor normal $ \mathbf{n} $:
nabla times F
Mas, como estamos no plano $ z = 2 $, podemos substituir $ z $ por 2:
n

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a superfície $ S $:
S
Como $ S $ é o quadrado com vértices de $ (0,0,2) $ a $ (1,1,2) $, os limites de integração para $ y $ vão de 0 a 1 e para $ x $ também de 0 a 1 (já que o quadrado vai de 0 a 1 em ambos os eixos $ x $ e $ y $).
Então, a integral fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (y - 2) , dS
Vamos resolver a integral interna primeiro:
S
Agora, integramos isso em relação a $ x $:
(0,0,2)

Resposta

A integral de linha ao longo da curva $ C $ é igual a C .

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