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Concavidade e ponto de inflexão.
Concavidade e ponto de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a concavidade da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ e também identificar os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender como a curva da função está se comportando.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Usamos a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções em forma de fração. A regra do quociente diz que:
Aqui, $ g(x) = 2x^{2} $ e $ h(x) = x^{2} - 1 $.
Derivando:
Aplicando na fórmula:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que vai nos ajudar a determinar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, derivamos $ f’(x) $:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Então, a segunda derivada é:
Passo 4
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal da segunda derivada:
- Se $ f’’(x) > 0 $: A função é côncava para cima.
- Se $ f’’(x) < 0 $: A função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de $ f’’(x) $:
-
Numerador: $ 4(3x^{2} + 1) $ é sempre positivo, porque $ 3x^{2} + 1 $ é sempre positivo para qualquer valor de $ x $.
-
Denominador: $ (x^{2} - 1)^{3} $
- Para $ |x| < 1 $: $ x^{2} - 1 < 0 $, então o denominador é negativo.
- Para $ |x| > 1 $: $ x^{2} - 1 > 0 $, então o denominador é positivo.
Então:
- Para $ |x| < 1 $: $ f’’(x) $ é positivo dividido por negativo, ou seja, negativo. Logo, a função é côncava para baixo.
- Para $ |x| > 1 $: $ f’’(x) $ é positivo dividido por positivo, ou seja, positivo. Logo, a função é côncava para cima.
Passo 5
Agora, vamos verificar os pontos de inflexão. Pontos de inflexão acontecem onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Para identificar possíveis pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Como $ x^{2} $ não pode ser negativo, não existem soluções reais para essa equação. Além disso, os pontos onde o denominador é zero ($ x = \pm1 $) correspondem a assíntotas verticais e não são pontos de inflexão, pois a função não está definida nesses valores.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ é côncava para baixo no intervalo $ |x| < 1 $ e côncava para cima no intervalo $ |x| > 1 $. Não existem pontos de inflexão para essa função.