Questão 1. Um avião pesando
tem envergadura
e voa horizontalmente próximo ao solo a uma altitide
e velocidade
. Desenvolva uma expressão para a redução no arrasto induzido devido ao efeito solo. Sendo
e
, calcule esta redução em Newtons.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- O enunciado pede: “Desenvolva uma expressão para a redução no arrasto induzido devido ao efeito solo” e, usando os valores numéricos, “calcule essa redução em Newtons”.
- Dados fornecidos:
- Peso do avião:
. Vou trabalhar em newtons: . - Envergadura:
. - Altitude acima do solo:
. - Velocidade de voo:
.
- Peso do avião:
- Parâmetros físicos assumidos (condições padrão, nível do mar):
- Densidade do ar:
.
- Densidade do ar:
- O que vamos calcular: a redução numérica no arrasto induzido, isto é,
onde é o arrasto induzido fora do efeito do solo (out of ground effect) e é o arrasto induzido com o efeito solo (in ground effect).
Passo 2
Relembrando e derivando a expressão do arrasto induzido em voo livre (sem efeito do solo).
- Conceito-chave: o arrasto induzido aparece porque a asa precisa gerar sustentação; para uma asa finita o arrasto induzido pode ser expresso em termos do coeficiente de arrasto induzido
. Para distribuição de sustentação elíptica e eficiência perfeita usamos . A expressão clássica é onde: -
é o coeficiente de arrasto induzido (adimensional); -
é o coeficiente de sustentação (adimensional); -
é a razão de aspecto da asa, definida por (onde é a área da asa); -
é o fator de eficiência de Oswald (para distribuição elíptica ideal ).
-
- Ligação entre força de sustentação e
: como o avião voa nivelado, a sustentação iguala o peso . A sustentação em termos de coeficiente é Assim, - O arrasto induzido em força é
. Substituindo e obtemos: Desenvolvendo os termos: Mas como (pois implica ), chegamos a uma forma que não depende de : - Observação didática: essa expressão é muito prática porque elimina a necessidade de conhecer a área da asa
— basta o peso, a envergadura, a velocidade, a densidade do ar e o fator . Para asa elíptica ideal usamos . Em asas reais , o arrasto induzido aumenta; aqui assumimos (caso clássico de exercício).
Passo 3
Aplicando a expressão do Passo 2 para calcular o arrasto induzido sem efeito do solo (
) numericamente.
- Usando a fórmula
e tomando , , substituímos os valores: - Calculemos passo a passo:
(o número acima é o denominador numérico; mantive aproximação com casas significativas adequadas).
- Portanto
- Interpretação rápida: fora do efeito solo esse avião gera cerca de
de arrasto induzido nas condições dadas.
Passo 4
Modelo para o efeito do solo (como o solo reduz o arrasto induzido) e justificativa da aproximação usada.
- Ideia física: próximo ao solo a presença do plano sólido altera o campo de velocidade induzido pelas vórtices da asa. Um método clássico (método da imagem, teoria da linha de levantamento) mostra que a presença do solo funciona como uma “imagem” da asa a uma distância simétrica, o que reduz a intensidade do escoamento induzido na asa real e, consequentemente, reduz o arrasto induzido.
- Uma aproximação utilizada em exercícios e em teoria de asas de razão de aspecto finita prevê que, devido ao solo, a resistência induzida é reduzida por um fator que pode ser interpretado como um aumento efetivo da razão de aspecto. Uma forma simples e comumente adotada para a correção é:
Essa expressão corresponde a uma aproximação analítica para asas de razão de aspecto moderada e representa o efeito do espelhamento das vorticidades sobre o plano do solo. É frequentemente usada em problemas didáticos por fornecer uma dependência simples com . - Observação didática: a constante
surge da solução aproximada da distribuição de vorticidade quando se aplica o método da imagem e faz uma expansão para asas de aspecto finito; não é uma constante universal para todos os formatos de asa na prática, mas é adequada para estimativas e exercícios acadêmicos como este. Aceitamos essa fórmula como o modelo adotado para o problema.
Passo 5
Aplicando a correção do efeito solo para calcular
e a redução
.
- Primeiro calculemos a razão
:
- Denominador da correção:
- Então
- A redução absoluta no arrasto induzido é
- Alternativamente a fração de redução é aproximadamente
Ou seja, com a diminuição do arrasto induzido é grande (o avião está relativamente próximo ao solo), conforme a aproximação usada.
Passo 6
Resumo final e observações práticas.
- Resumo do cálculo (valores aproximados com arredondamento apropriado):
-
. -
. - Redução absoluta
.
-
- Observações importantes:
- Usei
(ar ao nível do mar) e assumi (distribuição elíptica ideal). Se ou for diferente, os números mudam. - A fórmula de correção por solo adotada (dividir por
) é uma aproximação padrão em exercícios; modelos mais sofisticados (CFD, lifting-line numérico com imagens completos) dão correções mais precisas para asas reais.
- Usei
Resposta
13,756\ \mathrm{N}