Questão 1. Um avião pesando W tem envergadura b e voa horizontalmente próximo ao solo a uma altitide h e velocidade V. Desenvolva uma expressão para a redução no arrasto induzido devido ao efeito solo. Sendo W=220 \mathrm{kN}, h=15,2 \mathrm{~m}, b=27,4 \mathrm{~m} e V=45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule esta redução em Newtons.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede: “Desenvolva uma expressão para a redução no arrasto induzido devido ao efeito solo” e, usando os valores numéricos, “calcule essa redução em Newtons”.
  • Dados fornecidos:
    • Peso do avião: W=220\\ \mathrm{kN}. Vou trabalhar em newtons: W=220000\\ \mathrm{N}.
    • Envergadura: b=27,4\\ \mathrm{m}.
    • Altitude acima do solo: h=15,2\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade de voo: V=45\\ \mathrm{m/s}.
  • Parâmetros físicos assumidos (condições padrão, nível do mar):
    • Densidade do ar: \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • O que vamos calcular: a redução numérica no arrasto induzido, isto é, \Delta D_i = D_{i,\text{OGE}} - D_{i,\text{IGE}},onde D_{i,\text{OGE}} é o arrasto induzido fora do efeito do solo (out of ground effect) e D_{i,\text{IGE}} é o arrasto induzido com o efeito solo (in ground effect).

Passo 2

Relembrando e derivando a expressão do arrasto induzido em voo livre (sem efeito do solo).
  • Conceito-chave: o arrasto induzido aparece porque a asa precisa gerar sustentação; para uma asa finita o arrasto induzido pode ser expresso em termos do coeficiente de arrasto induzido C_{D,i}. Para distribuição de sustentação elíptica e eficiência perfeita usamos e=1. A expressão clássica é C_{D,i}=\frac{C_L^2}{\pi\,AR\,e},onde:
    • C_{D,i} é o coeficiente de arrasto induzido (adimensional);
    • C_L é o coeficiente de sustentação (adimensional);
    • AR é a razão de aspecto da asa, definida por AR=\dfrac{b^2}{S} (onde S é a área da asa);
    • e é o fator de eficiência de Oswald (para distribuição elíptica ideal e=1).
  • Ligação entre força de sustentação e C_L: como o avião voa nivelado, a sustentação L iguala o peso W. A sustentação em termos de coeficiente é L = W = \tfrac{1}{2}\rho V^2 S C_L.Assim, C_L=\frac{2W}{\rho V^2 S}.
  • O arrasto induzido em força é D_i = \tfrac{1}{2}\rho V^2 S C_{D,i}. Substituindo C_{D,i} e C_L obtemos: D_i=\tfrac{1}{2}\rho V^2 S\cdot\frac{C_L^2}{\pi AR e} =\tfrac{1}{2}\rho V^2 S\cdot\frac{\left(\dfrac{2W}{\rho V^2 S}\right)^{\!2}}{\pi AR e}.Desenvolvendo os termos: D_i=\frac{2W^2}{\pi e\,\rho V^2\,S\,AR}.Mas como S\cdot AR=b^2 (pois AR=b^2/S implica S\cdot AR=b^2), chegamos a uma forma que não depende de S: \boxed{\,D_{i,\text{OGE}}=\frac{2W^2}{\pi e\,\rho V^2 b^2}\,}.
  • Observação didática: essa expressão é muito prática porque elimina a necessidade de conhecer a área da asa S — basta o peso, a envergadura, a velocidade, a densidade do ar e o fator e. Para asa elíptica ideal usamos e=1. Em asas reais e<1, o arrasto induzido aumenta; aqui assumimos e=1 (caso clássico de exercício).

Passo 3

Aplicando a expressão do Passo 2 para calcular o arrasto induzido sem efeito do solo ( D_{i,\text{OGE}}) numericamente.
  • Usando a fórmula D_{i,\text{OGE}}=\frac{2W^2}{\pi e\,\rho V^2 b^2},e tomando e=1, \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3}, substituímos os valores: W=220000\\ \mathrm{N},\quad V=45\\ \mathrm{m/s},\quad b=27,4\\ \mathrm{m}.
  • Calculemos passo a passo: W^2=(220000)^2=48\,400\,000\,000\\ (\mathrm{N^2}).
2W^2=96\,800\,000\,000.
V^2=45^2=2025.
b^2=(27,4)^2=750,76\\ (\mathrm{m^2}).
\pi\,\rho\,V^2\,b^2 \approx \pi\cdot 1,225\cdot 2025\cdot 750,76 \approx 5\,852\,370\\ (\text{unidade } \mathrm{kg\; m^{-1}\; s^{-2}}).
(o número acima é o denominador numérico; mantive aproximação com casas significativas adequadas).
  • Portanto D_{i,\text{OGE}}\approx\frac{96\,800\,000\,000}{5\,852\,370}\approx 16\,550\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação rápida: fora do efeito solo esse avião gera cerca de 1,65\times 10^{4}\\ \mathrm{N} de arrasto induzido nas condições dadas.

Passo 4

Modelo para o efeito do solo (como o solo reduz o arrasto induzido) e justificativa da aproximação usada.
  • Ideia física: próximo ao solo a presença do plano sólido altera o campo de velocidade induzido pelas vórtices da asa. Um método clássico (método da imagem, teoria da linha de levantamento) mostra que a presença do solo funciona como uma “imagem” da asa a uma distância simétrica, o que reduz a intensidade do escoamento induzido na asa real e, consequentemente, reduz o arrasto induzido.
  • Uma aproximação utilizada em exercícios e em teoria de asas de razão de aspecto finita prevê que, devido ao solo, a resistência induzida é reduzida por um fator que pode ser interpretado como um aumento efetivo da razão de aspecto. Uma forma simples e comumente adotada para a correção é: D_{i,\text{IGE}}=\frac{D_{i,\text{OGE}}}{1+16\left(\dfrac{h}{b}\right)^{2}}.Essa expressão corresponde a uma aproximação analítica para asas de razão de aspecto moderada e representa o efeito do espelhamento das vorticidades sobre o plano do solo. É frequentemente usada em problemas didáticos por fornecer uma dependência simples com h/b.
  • Observação didática: a constante 16 surge da solução aproximada da distribuição de vorticidade quando se aplica o método da imagem e faz uma expansão para asas de aspecto finito; não é uma constante universal para todos os formatos de asa na prática, mas é adequada para estimativas e exercícios acadêmicos como este. Aceitamos essa fórmula como o modelo adotado para o problema.

Passo 5

Aplicando a correção do efeito solo para calcular D_{i,\text{IGE}} e a redução \Delta D_i.
  • Primeiro calculemos a razão h/b: \frac{h}{b}=\frac{15,2}{27,4}\approx 0,5547.
\left(\frac{h}{b}\right)^2\approx 0,3077.
16\left(\frac{h}{b}\right)^2 \approx 16\cdot 0,3077 \approx 4,924.
  • Denominador da correção: 1+16\left(\frac{h}{b}\right)^2 \approx 1+4,924=5,924.
  • Então D_{i,\text{IGE}}=\frac{D_{i,\text{OGE}}}{1+16\left(\dfrac{h}{b}\right)^{2}} \approx\frac{16\,550}{5,924}\approx 2\,794\\ \mathrm{N}.
  • A redução absoluta no arrasto induzido é \Delta D_i = D_{i,\text{OGE}}-D_{i,\text{IGE}} \approx 16\,550-2\,794=13\,756\\ \mathrm{N}.
  • Alternativamente a fração de redução é aproximadamente \frac{\Delta D_i}{D_{i,\text{OGE}}}\approx \frac{13\,756}{16\,550}\approx 0,831\quad(\text{ou }83{,}1\%).Ou seja, com h/b\approx0,55 a diminuição do arrasto induzido é grande (o avião está relativamente próximo ao solo), conforme a aproximação usada.

Passo 6

Resumo final e observações práticas.
  • Resumo do cálculo (valores aproximados com arredondamento apropriado):
    • D_{i,\text{OGE}}\approx 16\,550\\ \mathrm{N}.
    • D_{i,\text{IGE}}\approx 2\,794\\ \mathrm{N}.
    • Redução absoluta \Delta D_i\approx 13\,756\\ \mathrm{N}.
  • Observações importantes:
    • Usei \rho=1,225\\ \mathrm{kg/m^3} (ar ao nível do mar) e assumi e=1 (distribuição elíptica ideal). Se e<1 ou \rho for diferente, os números mudam.
    • A fórmula de correção por solo adotada (dividir por 1+16(h/b)^2) é uma aproximação padrão em exercícios; modelos mais sofisticados (CFD, lifting-line numérico com imagens completos) dão correções mais precisas para asas reais.

Resposta

13,756\ \mathrm{N}

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