Questão 5: Uma vazão de água de 900 litros por minuto é resfriada de 48 a 26^{\circ} \mathrm{C} ao escoar no interior de um tubo de 150 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a -10^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule o coeficiente de transferência de calor da água através de uma correlação empírica disponível na Literatura.
b) Determine qual deve ser o comprimento do tubo para que seja efetuada esta transferência de calor.
c) Calcule a quantidade de calor perdida pela água durante o seu escoamento dentro do tubo.
Água
T (K) \rho ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) \mathrm{c}_{\mathrm{p}} ( \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ) \mu \cdot 10^{6} ( \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) \mathrm{k} \cdot 10^{3} ( \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) Pr \beta \cdot 10^{6} ( \mathrm{K}^{-1} )
280 1000 4,198 1422 582 10,26 46,04
290 999 4,184 1080 598 7,56 174,0
300 998 4,179 855 613 5,83 276,1
310 993 4,178 695 628 4,62 361,9
320 989 4,180 577 640 3,77 436,7
330 984 4,184 489 650 3,15 504,0
340 979 4,188 420 660 2,66 566,0

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo explicitamente):
  • Vazão volumétrica de água: \dot{V}=900\\ \mathrm{L/min}=0,015\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Temperatura de entrada da água: T_{\mathrm{in}}=48\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada da água: T_{\mathrm{out}}=26\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície do tubo (constante): T_{w}=-10\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro interno do tubo: D=150\\ \mathrm{mm}=0,15\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
a) Calcular o coeficiente de transferência de calor convectivo h da água por uma correlação empírica disponível na literatura;
b) Determinar o comprimento do tubo L necessário para resfriar a água de 48\\ ^\circ\mathrm{C} para 26\\ ^\circ\mathrm{C};
c) Calcular a taxa de calor perdida pela água \dot{Q} durante o escoamento.
Informação adicional útil: a tabela de propriedades da água foi fornecida no enunciado. Para estimar propriedades (densidade, viscosidade, condutividade térmica, calor específico, Prandtl) usei a temperatura de filme aproximada. Vou explicitar qual valor da tabela foi escolhido e por quê quando for necessário.

Passo 2

Converter geometria e calcular velocidade média e vazão mássica (passo a passo):
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0,15)^{2}}{4}\approx 0,0176715\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média:
V=\frac{\dot{V}}{A}=\frac{0,015}{0,0176715}\approx 0,849\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho\,\dot{V}.
Ainda não escolhi \rho numericamente (vou pegar das propriedades), mas a expressão é essa e vou usá-la em seguida.
Explicação curta (didática): \dot{V} é o volume que passa por segundo; dividindo por a área da seção obtemos a velocidade média. A vazão mássica é a massa que passa por segundo e é o produto da densidade pelo volume por segundo.

Passo 3

Escolha de propriedades termofísicas e cálculo de Reynolds e Prandtl (com justificativa didática):
  • Para calcular coeficiente convectivo com correlações empíricas, usa-se propriedades à temperatura de filme \,T_f, que é a média entre a temperatura média do fluido e a do wall. Uma escolha razoável aqui:
T_{\mathrm{bulk,avg}}=\frac{T_{\mathrm{in}}+T_{\mathrm{out}}}{2}=\frac{48+26}{2}=37\\ ^\circ\mathrm{C}=310\\ \mathrm{K},
T_f=\frac{T_{\mathrm{bulk,avg}}+T_w}{2}=\frac{310+263}{2}=286{,}5\\ \mathrm{K}\approx 287\\ \mathrm{K}.
  • Da tabela fornecida peguei os valores mais próximos de T_f. Usei os valores na linha de 290\\ \mathrm{K} (informo explicitamente que peguei estes dados da tabela do enunciado):
    • \rho=999\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • c_{p}=4{,}184\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
    • \mu\cdot10^{6}=1080\Rightarrow \mu=1080\times10^{-6}=1{,}08\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • k\cdot10^{3}=598\Rightarrow k=0{,}598\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • \mathrm{Pr}=7{,}56.
Agora calculos numéricos:
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho\,\dot{V}=999\times0,015=14{,}985\\ \mathrm{kg/s}.
  • Número de Reynolds (define se o escoamento é laminar ou turbulento):
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{999\times0,849\times0,15}{1{,}08\times10^{-3}}\approx 1{,}18\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\gg 4000 indica escoamento turbulento em tubo circular, logo faz sentido usar uma correlação válida para escoamento turbulento.
Comentário didático: \mathrm{Re} é a razão entre forças inerciais e viscosas; para tubos, \mathrm{Re}<2300 é laminar, \mathrm{Re}>4000 é turbulento, e entre estes valores é região de transição.

Passo 4

Escolha da correlação empírica e cálculo de \mathrm{Nu} e h:
  • Para escoamento interno turbulento em tubo circular, uma correlação clássica e simples é a de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}=0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{n},
onde \mathrm{Nu} é o número de Nusselt, e o expoente n vale 0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido (paredes mais quentes que o fluido) e 0{,}3 quando o fluido está sendo resfriado (paredes mais frias que o fluido). Aqui a água está sendo resfriada pela superfície a -10\\ ^\circ\mathrm{C}, então usei n=0{,}3.
Explicação das grandezas:
  • \mathrm{Nu}=\dfrac{hD}{k} relaciona o coeficiente convectivo h com condutividade térmica k e dimensão característica D.
  • \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} já foram definidos; \mathrm{Pr} é a razão entre difusividade viscosa e difusividade térmica.
Cálculo numérico:
  • Primeiro \mathrm{Re}^{0{,}8} e \mathrm{Pr}^{0{,}3}:
\mathrm{Re}^{0{,}8}\approx (1{,}18\times10^{5})^{0{,}8}\approx 1{,}1464\times10^{4}, \qquad \mathrm{Pr}^{0{,}3}\approx 7{,}56^{0{,}3}\approx 1{,}834.
  • Logo:
\mathrm{Nu}=0{,}023\times1{,}1464\times10^{4}\times1{,}834\approx 4{,}84\times10^{2}.
  • Finalmente, o coeficiente convectivo:
h=\frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}=\frac{4{,}84\times10^{2}\times0{,}598}{0{,}15}\approx 1{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Interpretação curta: esse h é uma estimativa típica para água em escoamento turbulento intenso; note que o valor depende fortemente de \mathrm{Re} e das propriedades escolhidas.

Passo 5

Derivação da expressão para o comprimento necessário L (aula prática) e cálculo:
  • Balance de energia em uma seção diferencial do tubo (estado estacionário, sem acúmulo de energia, sem trocas de massa além do escoamento):
    a taxa de perda de energia do fluido por unidade de comprimento é igual à potência de convecção na superfície por unidade de comprimento:
\dot{m} c_p \frac{dT_b}{dx}=-h P\,(T_b-T_w),
onde T_b(x) é a temperatura média do fluido no plano da seção em x, P é o perímetro molhado do tubo e c_p calor específico. Aqui P=\pi D.
  • Reorganizando e integrando (separação de variáveis):
\frac{dT_b}{T_b-T_w}=-\frac{hP}{\dot{m}c_p}\,dx.
Integrando de x=0 (entrada) até x=L (saída) e de T_b(0)=T_{\mathrm{in}} até T_b(L)=T_{\mathrm{out}}:
\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{out}}-T_w}{T_{\mathrm{in}}-T_w}\right)=-\frac{hP}{\dot{m}c_p}L.
  • Resolvendo para L:
L=-\frac{\dot{m}c_p}{hP}\,\ln\!\left(\frac{T_{\mathrm{out}}-T_w}{T_{\mathrm{in}}-T_w}\right).
Agora substituindo numericamente:
  • P=\pi D=\pi\times0{,}15\approx0{,}47124\\ \mathrm{m}.
  • \dot{m}=14{,}985\\ \mathrm{kg/s} (do Passo 3).
  • c_p=4184\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • h=1{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • T_{\mathrm{in}}-T_w=48-(-10)=58\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • T_{\mathrm{out}}-T_w=26-(-10)=36\\ ^\circ\mathrm{C}.
Cálculo:
L=-\frac{14{,}985\times4184}{1{,}93\times10^{3}\times0{,}47124}\ln\!\left(\frac{36}{58}\right).
Avaliação numérica:
L\approx 32{,}9\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: a expressão usada assume que h e c_p são aproximadamente constantes ao longo do comprimento (usamos propriedades em T_f). Também assume escoamento fully developed térmica ou que o comprimento de entrada térmico seja pequeno frente a L; se o comprimento de entrada térmico fosse grande, haveria correções, mas para este problema a aproximação é aceitável.

Passo 6

Cálculo da taxa de calor perdida pela água (energia retirada por unidade de tempo):
  • Fórmula direta (primeiro princípio de calor sensível):
\dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{in}}-T_{\mathrm{out}}).
Substituindo:
\dot{Q}=14{,}985\times4184\times(48-26)=14{,}985\times4184\times22\approx 1{,}379\times10^{6}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a água perde cerca de 1{,}38\\ \mathrm{MW} ao ser resfriada de 48^\circ\mathrm{C} para 26^\circ\mathrm{C} na vazão dada. É um valor grande porque a vazão é alta e a diferença de temperatura é substancial.

Passo 7

Resumo dos principais pressupostos e observações finais (rápidas, motivacionais):
  • Usei correlação de Dittus–Boelter válida para escoamento turbulento em tubos lisos; essa correlação é empírica e razoável para 10^{4}\lesssim \mathrm{Re}\lesssim10^{6} e 0{,}7\lesssim\mathrm{Pr}\lesssim160.
  • Usei propriedades avaliadas aproximadas em T_f e assumi h constante ao longo do tubo; isso é comum em problemas de prova e fornece boa estimativa.
  • Se quiser, na prova pode mencionar que uma refinamento seria interpolar propriedades ao longo do tubo ou usar correlações que considerem entrada térmica; mas para um exercício padrão este nível de aproximação é o esperado.
  • Força: você já tem todos os passos para justificar as contas na prova — respira, faz as contas com calma, e descreve as hipóteses brevemente.

Resposta

(a) h\approx 1{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}
(b) L\approx 32{,}9\\ \mathrm{m}
(c) \dot{Q}\approx 1{,}379\times10^{6}\\ \mathrm{W}

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