Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f ?
f_{x}(1,1)=4, \quad f_{x y}(1,1)=3, \quad f_{y y}(1,1)=2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de f (isto é, um ponto onde as derivadas parciais primeiras deveriam satisfazer alguma condição).
  • Foram fornecidos os valores f_{x}(1,1)=4, f_{x y}(1,1)=3 e f_{y y}(1,1)=2.
A pergunta é: “Em cada caso, o que se pode dizer sobre f no ponto (1,1)?” (ou seja, podemos classificar o ponto como máximo local, mínimo local, ponto de sela, ou detectar inconsistência com a hipótese de ponto crítico).

Passo 2

O que significa “ponto crítico”: por definição, um ponto (a,b) é ponto crítico de f quando as derivadas parciais primeiras se anulam naquele ponto. Mais formalmente:
\text{Se }(a,b)\text{ é ponto crítico então }f_x(a,b)=0\quad\text{e}\quad f_y(a,b)=0.éíã
Explicando devagar: f_x é a taxa de variação de f na direção x e f_y na direção y. Para que o ponto seja crítico, não pode haver variação primeira nas duas direções — por isso ambas derivadas primeiras devem ser zero.
Aplicando isso diretamente ao dado: foi declarado que (1,1) é ponto crítico, mas o enunciado fornece f_{x}(1,1)=4. Como 4\neq 0, há uma contradição direta com a definição de ponto crítico.
Conclusão parcial: se os dados estão exatamente como escritos (isto é, se realmente foi informado f_x(1,1)=4), então não pode ser verdade que (1,1) seja um ponto crítico. Ou seja, há inconsistência nos dados: não existe função com derivadas contínuas cuja derivada parcial f_x valha 4 em um ponto que é crítico.

Passo 3

Dado que a declaração “suponha que (1,1) seja ponto crítico” entra em conflito com f_x(1,1)=4, há duas coisas que podemos fazer sem pedir esclarecimento (já que você não quer que eu pergunte nada):
  1. Registrar a contradição (já feito). Ou
  2. Interpretar que o que se quis dizer no enunciado foi fornecer os valores das derivadas de segunda ordem em (1,1), isto é, que houve um pequeno deslize de notação e que o correto seria f_{xx}(1,1)=4, f_{xy}(1,1)=3, f_{yy}(1,1)=2. Isso é uma interpretação plausível porque a classificação de pontos críticos usa justamente as segundas derivadas.
Vou seguir ambas as linhas: primeiro afirmar a impossibilidade quando tomado literalmente; depois assumir a interpretação razoável f_{xx}=4, f_{xy}=3, f_{yy}=2 e mostrar como classificar o ponto usando essa hipótese.

Passo 4

Explicação didática do teste com derivadas de segunda ordem (para quando as primeiras derivadas realmente são zero):
  • Definição: formam-se as derivadas segundas no ponto e o determinante da matriz Hessiana. Chamamos
D = f_{xx}(1,1)\,f_{yy}(1,1) - \bigl(f_{xy}(1,1)\bigr)^2.
  • Interpretação do teste (regra prática que se usa em provas):
    • Se D>0 e f_{xx}(1,1)>0 então f tem mínimo local em (1,1).
    • Se D>0 e f_{xx}(1,1)<0 então f tem máximo local em (1,1).
    • Se D<0 então (1,1) é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (é preciso outro método).
Esse teste vem da análise da forma quadrática de Taylor de segunda ordem em torno do ponto crítico: a matriz Hessiana determina o sinal dominante do termo quadrático.

Passo 5

Agora aplicando a interpretação plausível f_{xx}(1,1)=4, f_{xy}(1,1)=3, f_{yy}(1,1)=2. Calculemos D passo a passo:
D = f_{xx}(1,1)\,f_{yy}(1,1) - \bigl(f_{xy}(1,1)\bigr)^2 = 4\cdot 2 - 3^2.
Compute:
4\cdot 2 = 8,\qquad 3^2 = 9,
então
D = 8 - 9 = -1.
Como D=-1<0, de acordo com o teste de derivadas segunda, o ponto (1,1) é um ponto de sela (saddle point).
Para dar intuição: em um ponto de sela há direções em que a função sobe e direções em que a função desce — por isso não é nem máximo nem mínimo. Um exemplo simples e famosinho é g(x,y)=x^2-y^2, cuja Hessiana tem determinante negativo.

Passo 6

Orientação prática para a prova (passos concretos que eu faria ao ver um enunciado parecido):
  1. Verificar consistência: se o enunciado afirma que é ponto crítico, checar se f_x e f_y naquele ponto são zero. Se não forem, apontar contradição.
  2. Se as primeiras derivadas são zero (ou se for dado que é ponto crítico) e se forem fornecidas as segundas derivadas, calcular
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2
e aplicar as regras do teste.
3. Se D=0, buscar expansão de Taylor de ordem superior ou analisar a função em curvas de direção para decidir.

Resposta

Se os dados forem tomados literalmente (isto é, f_x(1,1)=4), há contradição: (1,1) não pode ser ponto crítico porque num ponto crítico deve valer f_x(1,1)=f_y(1,1)=0.
Se a intenção era fornecer as segundas derivadas f_{xx}(1,1)=4, f_{xy}(1,1)=3, f_{yy}(1,1)=2, então
D=4\cdot2-3^2=-1<0,
logo (1,1) é um ponto de sela (saddle point).

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