Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Suponha que
seja um ponto crítico de (isto é, um ponto onde as derivadas parciais primeiras deveriam satisfazer alguma condição). - Foram fornecidos os valores
, e .
A pergunta é: “Em cada caso, o que se pode dizer sobre
no ponto
?” (ou seja, podemos classificar o ponto como máximo local, mínimo local, ponto de sela, ou detectar inconsistência com a hipótese de ponto crítico).
Passo 2
O que significa “ponto crítico”: por definição, um ponto
é ponto crítico de
quando as derivadas parciais primeiras se anulam naquele ponto. Mais formalmente:
Explicando devagar:
é a taxa de variação de
na direção
e
na direção
. Para que o ponto seja crítico, não pode haver variação primeira nas duas direções — por isso ambas derivadas primeiras devem ser zero.
Aplicando isso diretamente ao dado: foi declarado que
é ponto crítico, mas o enunciado fornece
. Como
, há uma contradição direta com a definição de ponto crítico.
Conclusão parcial: se os dados estão exatamente como escritos (isto é, se realmente foi informado
), então não pode ser verdade que
seja um ponto crítico. Ou seja, há inconsistência nos dados: não existe função com derivadas contínuas cuja derivada parcial
valha
em um ponto que é crítico.
Passo 3
Dado que a declaração “suponha que
seja ponto crítico” entra em conflito com
, há duas coisas que podemos fazer sem pedir esclarecimento (já que você não quer que eu pergunte nada):
- Registrar a contradição (já feito). Ou
- Interpretar que o que se quis dizer no enunciado foi fornecer os valores das derivadas de segunda ordem em
, isto é, que houve um pequeno deslize de notação e que o correto seria , , . Isso é uma interpretação plausível porque a classificação de pontos críticos usa justamente as segundas derivadas.
Vou seguir ambas as linhas: primeiro afirmar a impossibilidade quando tomado literalmente; depois assumir a interpretação razoável
,
,
e mostrar como classificar o ponto usando essa hipótese.
Passo 4
Explicação didática do teste com derivadas de segunda ordem (para quando as primeiras derivadas realmente são zero):
- Definição: formam-se as derivadas segundas no ponto e o determinante da matriz Hessiana. Chamamos
- Interpretação do teste (regra prática que se usa em provas):
- Se
e então tem mínimo local em . - Se
e então tem máximo local em . - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (é preciso outro método).
- Se
Esse teste vem da análise da forma quadrática de Taylor de segunda ordem em torno do ponto crítico: a matriz Hessiana determina o sinal dominante do termo quadrático.
Passo 5
Agora aplicando a interpretação plausível
,
,
. Calculemos
passo a passo:
Compute:
então
Como
, de acordo com o teste de derivadas segunda, o ponto
é um ponto de sela (saddle point).
Para dar intuição: em um ponto de sela há direções em que a função sobe e direções em que a função desce — por isso não é nem máximo nem mínimo. Um exemplo simples e famosinho é
, cuja Hessiana tem determinante negativo.
Passo 6
Orientação prática para a prova (passos concretos que eu faria ao ver um enunciado parecido):
- Verificar consistência: se o enunciado afirma que é ponto crítico, checar se
e naquele ponto são zero. Se não forem, apontar contradição. - Se as primeiras derivadas são zero (ou se for dado que é ponto crítico) e se forem fornecidas as segundas derivadas, calcular
e aplicar as regras do teste.
3. Se , buscar expansão de Taylor de ordem superior ou analisar a função em curvas de direção para decidir.
3. Se
Resposta
Se os dados forem tomados literalmente (isto é,
), há contradição:
não pode ser ponto crítico porque num ponto crítico deve valer
.
Se a intenção era fornecer as segundas derivadas
,
,
, então
logo
é um ponto de sela (saddle point).