Verifique se a equação \left\{\begin{array}{c}y^{\prime}=\frac{y}{x}+\operatorname{sen}\left(\frac{y}{x}\right) \\\ y(1)=\frac{\pi}{2}\end{array}\right. possui coeficientes homogêneos, e em caso positivo resolva-a.
Verificar se a equação possui coeficientes homogêneos (ou seja, se o membro direito pode ser escrito apenas em função de \dfrac{y}{x}).
Se for homogênea, resolver a equação e aplicar a condição inicial dada.]
Passo 2
O conceito que precisamos aqui: dizemos que a equação diferencial da forma y'=f(x,y) tem coeficientes homogêneos quando f(x,y) pode ser escrito como uma função de \dfrac{y}{x} apenas, isto é, existe g tal que f(x,y)=g\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
que depende unicamente da razão \dfrac{y}{x}. Portanto a equação tem coeficientes homogêneos. Bom sinal — podemos usar a substituição padrão para esses casos:
Agora integramos ambos os lados. Precisamos de uma primitiva de \dfrac{1}{\sin v}, que é a função cosseno recíproco (cosecante). Uma forma elegante de calcular é usar a substituição de Weierstrass t=\tan\!\left(\dfrac{v}{2}\right). Com t=\tan\!\left(\dfrac{v}{2}\right) vale
Usando \operatorname{sen}(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta e tomando \theta=\arctan(x) dá \operatorname{sen}(2\arctan x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}, portanto as duas expressões coincidem, confirmando a solução.