Verifique se a equação \left\{\begin{array}{c}y^{\prime}=\frac{y}{x}+\operatorname{sen}\left(\frac{y}{x}\right) \\\ y(1)=\frac{\pi}{2}\end{array}\right. possui coeficientes homogêneos, e em caso positivo resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=\dfrac{y}{x}+\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{y}{x}\right),\\[6pt] y(1)=\dfrac{\pi}{2}. \end{cases}
As perguntas são:
  • Verificar se a equação possui coeficientes homogêneos (ou seja, se o membro direito pode ser escrito apenas em função de \dfrac{y}{x}).
  • Se for homogênea, resolver a equação e aplicar a condição inicial dada.]

Passo 2

O conceito que precisamos aqui: dizemos que a equação diferencial da forma y'=f(x,y) tem coeficientes homogêneos quando f(x,y) pode ser escrito como uma função de \dfrac{y}{x} apenas, isto é, existe g tal que f(x,y)=g\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
No nosso caso o membro direito é
\dfrac{y}{x}+\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{y}{x}\right),
que depende unicamente da razão \dfrac{y}{x}. Portanto a equação tem coeficientes homogêneos. Bom sinal — podemos usar a substituição padrão para esses casos:
v=\dfrac{y}{x}\quad\text{ou equivalente}\quad y=xv,
onde v é função de x.

Passo 3

Calculemos y' em termos de v. Se y=xv(x), então pela regra do produto:
y' = v + x v'.
Agora substituímos y e y' na equação original. O membro direito em termos de v é
\dfrac{y}{x}+\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=v+\operatorname{sen}(v).
Igualando:
v + x v' = v + \operatorname{sen}(v).

Passo 4

Cancelamos v dos dois lados e obtemos uma equação para v:
x v' = \operatorname{sen}(v).
Reescrevendo como equação separável (colocando termos em v de um lado e em x do outro):
\dfrac{dv}{\operatorname{sen}(v)} = \dfrac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. Precisamos de uma primitiva de \dfrac{1}{\sin v}, que é a função cosseno recíproco (cosecante). Uma forma elegante de calcular é usar a substituição de Weierstrass t=\tan\!\left(\dfrac{v}{2}\right). Com t=\tan\!\left(\dfrac{v}{2}\right) vale
\sin v=\dfrac{2t}{1+t^{2}},\qquad dv=\dfrac{2}{1+t^{2}}\,dt,
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\int \dfrac{dv}{\sin v} = \int \dfrac{1}{\dfrac{2t}{1+t^{2}}}\cdot \dfrac{2}{1+t^{2}}\,dt = \int \dfrac{1}{t}\,dt = \ln|t|+C = \ln\!\big|\tan\!\tfrac{v}{2}\big|+C.
Portanto a integral dá
\int \dfrac{dv}{\operatorname{sen}(v)}=\ln\!\big|\tan\!\tfrac{v}{2}\big|+C.
Integrando o lado direito \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C. Igualando as primitivas:
\ln\!\big|\tan\!\tfrac{v}{2}\big|=\ln|x|+C_{1}.

Passo 5

Exponenciando e reorganizando obtém-se a relação explícita entre v e x:
\tan\!\tfrac{v}{2}=C x,
onde C é constante arbitrária (absorvemos e^{C_{1}} em C). Então
v=2\arctan(Cx).
Voltando à variável original y=xv:
y(x)=2x\arctan(Cx)
é a solução geral (em regiões onde as funções estão bem definidas e v não atinge múltiplos de \pi que anulariam \sin v na separação).
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=\dfrac{\pi}{2}. Substituindo x=1:
y(1)=2\cdot 1\cdot \arctan\text{(C)}=2\arctan\text{(C)}=\dfrac{\pi}{2}.
Logo \arctan\text{(C)}=\dfrac{\pi}{4}, o que dá C=\tan\!\dfrac{\pi}{4}=1.
Portanto a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial é
y(x)=2x\arctan(x).
Para garantir que está correto, uma verificação rápida: calculando y' obtemos
y' = 2\arctan(x) + 2x\cdot\dfrac{1}{1+x^{2}},
enquanto
\dfrac{y}{x}+\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{y}{x}\right) =2\arctan(x)+\operatorname{sen}\!\big(2\arctan(x)\big).
Usando \operatorname{sen}(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta e tomando \theta=\arctan(x) \operatorname{sen}(2\arctan x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}, portanto as duas expressões coincidem, confirmando a solução.

Resposta

Sim.
y(x)=2x\arctan(x)

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