Questão 4. Utilize o critério da integral para analisar a convergência da série
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para analisar sua convergência usando o critério da integral.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A soma começa em
. - O termo geral da série é
. - Para
temos , portanto os termos são positivos para . - A tarefa é decidir se a série converge ou diverge, aplicando o critério da integral.
Passo 2
Vou enunciar claramente o critério da integral que vou aplicar (sem provar aqui, apenas a versão usada):
Se existir uma função
tal que, para
,
-
é contínua, -
, -
é monotona decrescente,
e
para todo
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Em palavras: convergência da série é equivalente à convergência da integral imprópria correspondente, sob essas condições.
Passo 3
Escolho a função contínua natural que corresponde ao termo geral:
Agora verifico as hipóteses do critério para
.
-
Continuidade: para
a função é contínua e não se anula, logo é contínua em . Em particular em . -
Positividade: para
tem-se e , portanto . -
Monotonia decrescente: calculo a derivada de
para verificar se é negativa em .
Derivando,
Para
tem-se
, então
. Como o denominador
, conclui-se que
para todo
. Portanto
é decrescente em
.
Assim, todas as hipóteses do critério da integral estão satisfeitas com
.
Passo 4
Aplicando o critério, analisamos a integral imprópria
Para calcular essa integral, faço a substituição padrão
. Então
Quando
temos
. Quando
(para
) temos
. Assim, para
,
Passo 5
A integral de
é o logaritmo natural:
Agora passo ao limite impróprio
:
Como
quando
, então
. Portanto a integral diverge (tende a
).
Passo 6
Pelo critério da integral (passos anteriores), como a integral imprópria
diverge, a série correspondente
também diverge.
Uma observação intuitiva: a divergência é lenta (a soma cresce muito devagar), mas suficiente para divergir — isso é típico de séries do tipo “harmônica com um log” (às vezes chamadas séries de Bertrand).
Resposta
A série diverge.