Questão 4. Utilize o critério da integral para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n \ln n}
e pede para analisar sua convergência usando o critério da integral.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A soma começa em n=2.
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{n\ln n}.
  • Para n\ge 2 temos \ln n>0, portanto os termos são positivos para n\ge 2.
  • A tarefa é decidir se a série converge ou diverge, aplicando o critério da integral.

Passo 2

Vou enunciar claramente o critério da integral que vou aplicar (sem provar aqui, apenas a versão usada):
Se existir uma função f:(N,+\infty)\to\mathbb{R} tal que, para x\ge N,
  • f é contínua,
  • f(x)\ge 0,
  • f é monotona decrescente,
e a_n=f(n) para todo n\ge N, então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx
converge. Em palavras: convergência da série é equivalente à convergência da integral imprópria correspondente, sob essas condições.

Passo 3

Escolho a função contínua natural que corresponde ao termo geral:
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x>1.
Agora verifico as hipóteses do critério para x\ge 2.
  1. Continuidade: para x>1 a função x\mapsto x\ln x é contínua e não se anula, logo f é contínua em (1,\infty). Em particular em [2,\infty).
  2. Positividade: para x\ge 2 tem-se \ln x>0 e x>0, portanto f(x)>0.
  3. Monotonia decrescente: calculo a derivada de f para verificar se é negativa em [2,\infty).
f(x)=(x\ln x)^{-1}.
Derivando,
f'(x) = -1\cdot (x\ln x)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(x\ln x) = -\frac{\ln x + 1}{(x\ln x)^2}.
Para x\ge 2 tem-se \ln x\ge \ln 2>0, então \ln x+1>0. Como o denominador (x\ln x)^2>0, conclui-se que f'(x)<0 para todo x\ge 2. Portanto f é decrescente em [2,\infty).
Assim, todas as hipóteses do critério da integral estão satisfeitas com N=2.

Passo 4

Aplicando o critério, analisamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Para calcular essa integral, faço a substituição padrão u=\ln x. Então
du=\frac{1}{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x}\,dx=du.
Quando x=2 temos u=\ln 2. Quando x=t (para t>2) temos u=\ln t. Assim, para t>2,
\int_{2}^{t} \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\ln t} \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural:
\int_{\ln 2}^{\ln t} \frac{1}{u}\,du = \big[\ln u\big]_{\ln 2}^{\ln t} = \ln(\ln t) - \ln(\ln 2).
Agora passo ao limite impróprio t\to\infty:
\lim_{t\to\infty} \big(\ln(\ln t) - \ln(\ln 2)\big) = \lim_{t\to\infty} \ln(\ln t) - \ln(\ln 2).
Como \ln t\to\infty quando t\to\infty, então \ln(\ln t)\to\infty. Portanto a integral diverge (tende a +\infty).

Passo 6

Pelo critério da integral (passos anteriores), como a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx
diverge, a série correspondente
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}
também diverge.
Uma observação intuitiva: a divergência é lenta (a soma cresce muito devagar), mas suficiente para divergir — isso é típico de séries do tipo “harmônica com um log” (às vezes chamadas séries de Bertrand).

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados