Questão 5. Use o critério da razão para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} .

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência, usando o critério da razão, da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} .
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n!}{n^{n}}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge1 (porque n! e n^{n} são positivos).
  • A instrução explícita é usar o critério da razão (teste de d’Alembert).

Passo 2

Defino o quociente da razão entre termos consecutivos que o teste pede:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}}.
Agora simplifico a expressão passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!\; n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}\; n!}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, cancelo n! e obtenho
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)\, n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 3

Vou lembrar (didaticamente) o que diz o critério da razão:
  • Se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existir e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Portanto, preciso calcular
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 4

Transformo a expressão para um formato que conheço bem. Escrevo
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Uma forma simples de achar o limite é relacionar com o limite clássico que define e:
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}=e.
Substituo m=n+1. Então
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} =\left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n+1}}.
Agora, para m=n+1 temos \left(1-\dfrac{1}{m}\right)^{m}\to e^{-1} quando m\to\infty. Assim
\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-1}, \qquad \frac{n}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Pelo contínuo da função potência, o produto dos limites dá
L=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = (e^{-1})^{1}=e^{-1}.
(Se preferir uma verificação alternativa: tomar logaritmo natural
\ln\left(\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)
e usar \ln(1+x)\sim x quando x\to0, obtém-se o limite -1, logo a exponencial do limite é e^{-1}.)

Passo 5

Como L=e^{-1} e sabemos que
e^{-1}=\frac{1}{e}\approx0{,}3679<1,
pelo critério da razão a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}} converge absolutamente. Portanto a série converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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