Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- Temos uma função racional com denominador quadrático
. - A instrução é usar o método da substituição para resolver a integral.
- Queremos transformar a integral numa forma conhecida e fácil de integrar (idealmente algo do tipo
).
Passo 2
Ideia da substituição (por que escolher uma certa substituição).
- Note que
. Essa forma sugere transformar a expressão em . - Portanto escolhemos a substituição
porque assim o denominador fica exatamente
.
Passo 3
Calcular o diferencial correspondente (como trocar
por
).
- Derivando
em relação a obtemos
- Isolando
temos
Passo 4
Fazer a substituição na integral e simplificar.
- Substituindo
e na integral,
- Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Integrar usando a primitiva conhecida e justificar.
- Lembrar da primitiva padrão: para qualquer
,
- Logo
onde
é constante de integração.
- Aplicando isso ao que temos,
Passo 6
Voltar à variável original e escrever a resposta final.
- Substituindo
de volta,