Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{d x}{1+3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{1+3x^{2}}.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos uma função racional com denominador quadrático 1+3x^{2}.
  • A instrução é usar o método da substituição para resolver a integral.
  • Queremos transformar a integral numa forma conhecida e fácil de integrar (idealmente algo do tipo \int \frac{du}{1+u^{2}}).

Passo 2

Ideia da substituição (por que escolher uma certa substituição).
  • Note que 1+3x^{2} = 1+(\sqrt{3}x)^{2}. Essa forma sugere transformar a expressão em 1+u^{2}.
  • Portanto escolhemos a substituição
u = \sqrt{3}\,x,
porque assim o denominador fica exatamente 1+u^{2}.

Passo 3

Calcular o diferencial correspondente (como trocar dx por du).
  • Derivando u em relação a x obtemos
du = \sqrt{3}\,dx.
  • Isolando dx temos
dx = \frac{du}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral e simplificar.
  • Substituindo u=\sqrt{3}x e dx=\dfrac{du}{\sqrt{3}} na integral,
\int \frac{dx}{1+3x^{2}} = \int \frac{1}{1+(\sqrt{3}x)^{2}}\;dx = \int \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{\sqrt{3}}.
  • Podemos tirar a constante 1/\sqrt{3} para fora da integral:
\int \frac{dx}{1+3x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 5

Integrar usando a primitiva conhecida e justificar.
  • Lembrar da primitiva padrão: para qualquer u,
\frac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
  • Logo
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan u + C,
onde C é constante de integração.
  • Aplicando isso ao que temos,
\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{1+u^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan u + C.

Passo 6

Voltar à variável original e escrever a resposta final.
  • Substituindo u=\sqrt{3}x de volta,
\int \frac{dx}{1+3x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\!\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C

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