Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin ^{4} x \cdot \cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, usando o método da substituição:
\int \sin^{4}x\cdot\cos^{3}x\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A integranda é \sin^{4}x\cdot\cos^{3}x.
  • É uma integral indefinida (queremos uma primitiva).
  • O enunciado exige o uso do método da substituição.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática, passo a passo):
  • A substituição consiste em escolher uma nova variável u que transforme a integral em uma forma mais simples. Normalmente escolhe-se u igual a uma parte da função cuja derivada aparece multiplicando-a.
  • Se escolhermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx, e substituímos g(x) por u e g'(x)\,dx por du. A integral fica em termos de u e é mais fácil de resolver.
  • Um truque frequente em integrais trigonométricas com potências é separar um fator cuja diferencial aparece: por exemplo, se aparecer \cos x\,dx junto com potências de \sin x, costuma ser conveniente tomar u=\sin x.

Passo 3

Aplicando esse pensamento à nossa integral: \sin^{4}x\cdot\cos^{3}x tem um fator \cos^{3}x. Podemos separar um fator \cos x para que ele fique como multiplicador de dx (possível candidato a du), e deixar o restante em termos de \sin x usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Ou seja:
\sin^{4}x\cdot\cos^{3}x = \sin^{4}x\cdot\cos^{2}x\cdot\cos x = \sin^{4}x\cdot(1-\sin^{2}x)\cdot\cos x.
Essa reescrita é feita para que tudo (exceto \cos x\,dx) esteja em função de \sin x.

Passo 4

Agora escolhemos a substituição apropriada:
u=\sin x.
Calculamos o diferencial de u:
du=\cos x\,dx.
Repare que o fator \cos x\,dx aparece na expressão do Passo 3, então podemos substituir diretamente. Substituindo na integral obtemos:
\int \sin^{4}x\cdot(1-\sin^{2}x)\cdot\cos x\,dx = \int u^{4}\cdot(1-u^{2})\,du.

Passo 5

Simplificamos o integrando em u:
u^{4}(1-u^{2}) = u^{4}-u^{6}.
Então a integral em u é
\int \left(u^{4}-u^{6}\right)\,du.
Usamos a regra de potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 6

Aplicando a regra de potência termo a termo:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7}.
Portanto
\int \left(u^{4}-u^{6}\right)\,du = \frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 7

Voltando à variável original ( u=\sin x), substituímos u por \sin x:
\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C = \frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{\sin^{7}x}{7}+C.
Dica final: esse mesmo tipo de passo (isolar um fator cujo diferencial aparece e usar identidades trigonométricas) funciona para muitas integrais com potências de seno e cosseno. Você está indo bem — continue praticando esses passos que ficam naturais rapidinho!

Resposta

\frac{\sin^{5}x}{5}-\frac{\sin^{7}x}{7}+C

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