Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, usando o método da substituição:
Informações dadas e observações imediatas:
- A integranda é
. - É uma integral indefinida (queremos uma primitiva).
- O enunciado exige o uso do método da substituição.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática, passo a passo):
- A substituição consiste em escolher uma nova variável
que transforme a integral em uma forma mais simples. Normalmente escolhe-se igual a uma parte da função cuja derivada aparece multiplicando-a. - Se escolhermos
, então , e substituímos por e por . A integral fica em termos de e é mais fácil de resolver. - Um truque frequente em integrais trigonométricas com potências é separar um fator cuja diferencial aparece: por exemplo, se aparecer
junto com potências de , costuma ser conveniente tomar .
Passo 3
Aplicando esse pensamento à nossa integral:
tem um fator
. Podemos separar um fator
para que ele fique como multiplicador de
(possível candidato a
), e deixar o restante em termos de
usando a identidade trigonométrica
. Ou seja:
Essa reescrita é feita para que tudo (exceto
) esteja em função de
.
Passo 4
Agora escolhemos a substituição apropriada:
Calculamos o diferencial de
:
Repare que o fator
aparece na expressão do Passo 3, então podemos substituir diretamente. Substituindo na integral obtemos:
Passo 5
Simplificamos o integrando em
:
Então a integral em
é
Usamos a regra de potência para primitivas: para
,
Passo 6
Aplicando a regra de potência termo a termo:
Portanto
Passo 7
Voltando à variável original (
), substituímos
por
:
Dica final: esse mesmo tipo de passo (isolar um fator cujo diferencial aparece e usar identidades trigonométricas) funciona para muitas integrais com potências de seno e cosseno. Você está indo bem — continue praticando esses passos que ficam naturais rapidinho!