Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pelo método da substituição, a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Deve-se usar o método da substituição (ou seja, escolher uma
que facilite a integral). - O resultado esperado é uma primitiva geral, com constante de integração
.
Passo 2
O que é o método da substituição (em palavras simples)?
- Se for possível escrever a integral na forma
, então fazendo e transformamos a integral em , que muitas vezes é mais fácil. - Aqui a ideia é escolher
de modo que sua derivada apareça (ou esteja próxima de aparecer) na integral original.
Passo 3
Escolha da substituição (razão passo a passo).
- Observando
, vemos no numerador e no denominador. A derivada de é , então faz sentido escolher
- Agora calculamos
: derivando obtemos
- Isolando
temos
Passo 4
Reescrever a integral inteira em termos de
.
- Substitui-se
por e por . Também . - Assim
Passo 5
Integrar usando a regra da potência (explicada).
- Regra da potência para integrais: para
,
- No nosso caso
. Então
- Lembrando o sinal que tínhamos fora, voltamos:
Passo 6
Voltando à variável
(substituição inversa).
- Como
, temos . - Portanto a primitiva é
que também pode ser escrita usando a função secante:
Passo 7
Verificação rápida (derivando para checar).
- Derivando
obtém-se . - Reescrevendo
em termos de seno e cosseno:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.