Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pelo método da substituição, a integral indefinida
\int \frac{\sin x}{\cos^{2} x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\sin x}{\cos^{2} x}.
  • A variável de integração é x.
  • Deve-se usar o método da substituição (ou seja, escolher uma u=g(x) que facilite a integral).
  • O resultado esperado é uma primitiva geral, com constante de integração C.

Passo 2

O que é o método da substituição (em palavras simples)?
  • Se for possível escrever a integral na forma \int f(g(x))\,g'(x)\,dx, então fazendo u=g(x) e du=g'(x)\,dx transformamos a integral em \int f(u)\,du, que muitas vezes é mais fácil.
  • Aqui a ideia é escolher g(x) de modo que sua derivada g'(x)\,dx apareça (ou esteja próxima de aparecer) na integral original.

Passo 3

Escolha da substituição (razão passo a passo).
  • Observando \dfrac{\sin x}{\cos^{2} x}, vemos \sin x no numerador e \cos x no denominador. A derivada de \cos x é -\sin x, então faz sentido escolher
u=\cos x.
  • Agora calculamos du: derivando u=\cos x obtemos
du = -\sin x\,dx.
  • Isolando \sin x\,dx temos
\sin x\,dx = -du.

Passo 4

Reescrever a integral inteira em termos de u.
  • Substitui-se \cos x por u e \sin x\,dx por -du. Também \cos^{2}x = u^{2}.
  • Assim
\int \frac{\sin x}{\cos^{2} x}\,dx = \int \frac{\sin x\,dx}{\cos^{2} x} = \int \frac{-du}{u^{2}} = -\int u^{-2}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência (explicada).
  • Regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
  • No nosso caso n=-2. Então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
  • Lembrando o sinal que tínhamos fora, voltamos:
-\int u^{-2}\,du = -\bigl(-u^{-1} + C\bigr) = u^{-1} + C.

Passo 6

Voltando à variável x (substituição inversa).
  • Como u=\cos x, temos u^{-1}=\dfrac{1}{\cos x}.
  • Portanto a primitiva é
\frac{1}{\cos x} + C,
que também pode ser escrita usando a função secante:
\operatorname{sec} x + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando para checar).
  • Derivando \operatorname{sec} x obtém-se \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.
  • Reescrevendo \operatorname{sec} x\tan x em termos de seno e cosseno:
\operatorname{sec} x\tan x = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^{2}x},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\operatorname{sec} x + C

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