Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int 2 x \cdot \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2 x \cdot \cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações importantes fornecidas:
  • A integral é indefinida (há uma constante de integração).
  • O integrando é 2x multiplicando \cos\bigl(x^{2}\bigr).
  • Não foi pedido método específico além de “método da substituição”, então usaremos substituição.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática e sem pular etapas).
O método da substituição serve para transformar uma integral complicada em uma integral mais simples, trocando a variável de integração por uma nova variável u. O objetivo é identificar uma expressão dentro do integrando cuja derivada apareça multiplicando-a (ou seja, reconhecer uma composição tipo f(g(x)) com g'(x) presente).
Se quisermos fazer a substituição u=g(x) então calculamos a diferencial du usando derivação:
du = g'(x)\,dx.
Se o integrando contém exatamente um fator igual a g'(x)\,dx (ou um múltiplo dele), podemos substituir g(x) por u e g'(x)\,dx por du, obtendo uma integral em u mais simples.
Exemplo curto e intuitivo (para fixar): para integrar \int 2x e^{x^{2}}\,dx escolhe-se u=x^{2} e du=2x\,dx, então a integral vira \int e^{u}\,du = e^{u}+C.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso integrando, destaque a parte interna da função trigonométrica: \,x^{2}\,. Vamos tentar a substituição
u = x^{2}.
Agora calculamos a diferencial du em termos de dx. Derivando u em relação a x temos du/dx = 2x, portanto
du = 2x\,dx.

Passo 4

Observe que o integrando contém exatamente o fator 2x\,dx. Podemos, então, substituir:
  • x^{2} por u,
  • 2x\,dx por du.
Fazendo a substituição na integral original obtemos uma integral em u:
\int 2 x \cdot \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos a função simples \cos(u). A primitiva (antiderivada) de \cos(u) é \sin(u), pois a derivada de \sin(u) é \cos(u). Portanto
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u = x^{2}. Assim a primitiva encontrada é
\sin\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta deve voltar ao integrando original.
Derivando \sin\bigl(x^{2}\bigr)+C em relação a x usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sin\bigl(x^{2}\bigr) = \cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = \cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 8

Dica rápida para a prova: quando vir uma integral do tipo \int 2x\cdot f(x^{2})\,dx procure u=x^{2} porque du=2x\,dx aparece naturalmente. Em geral, reconhecer uma função composta f(g(x)) com g'(x) presente é o sinal verde para usar substituição.

Resposta

\sin\bigl(x^{2}\bigr)+C

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