Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes fornecidas:
- A integral é indefinida (há uma constante de integração).
- O integrando é
multiplicando . - Não foi pedido método específico além de “método da substituição”, então usaremos substituição.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática e sem pular etapas).
O método da substituição serve para transformar uma integral complicada em uma integral mais simples, trocando a variável de integração por uma nova variável
. O objetivo é identificar uma expressão dentro do integrando cuja derivada apareça multiplicando-a (ou seja, reconhecer uma composição tipo
com
presente).
Se quisermos fazer a substituição
então calculamos a diferencial
usando derivação:
Se o integrando contém exatamente um fator igual a
(ou um múltiplo dele), podemos substituir
por
e
por
, obtendo uma integral em
mais simples.
Exemplo curto e intuitivo (para fixar): para integrar
escolhe-se
e
, então a integral vira
.
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso integrando, destaque a parte interna da função trigonométrica:
. Vamos tentar a substituição
Agora calculamos a diferencial
em termos de
. Derivando
em relação a
temos
, portanto
Passo 4
Observe que o integrando contém exatamente o fator
. Podemos, então, substituir:
-
por , -
por .
Fazendo a substituição na integral original obtemos uma integral em
:
Passo 5
Agora integramos a função simples
. A primitiva (antiderivada) de
é
, pois a derivada de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 7
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta deve voltar ao integrando original.
Derivando em relação a
usando a regra da cadeia:
Derivando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 8
Dica rápida para a prova: quando vir uma integral do tipo
procure
porque
aparece naturalmente. Em geral, reconhecer uma função composta
com
presente é o sinal verde para usar substituição.