Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (resultado com constante de integração C).
  • Não há limites de integração (é uma primitiva).

Passo 2

Método que vamos usar (substituição) — ideia intuitiva e fórmula:
  • Quando a integranda é uma composição de funções do tipo f(g(x)) e aparece algo relacionado a g'(x), é conveniente fazer a substituição u=g(x).
  • Se fizermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Em termos de dx temos dx=\dfrac{du}{g'(x)}.
  • A integral original em x se transforma numa integral em u, que geralmente é mais simples de calcular.
  • Lembrete de fórmulas básicas: \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{u}\bigr)=e^{u}\dfrac{du}{dx} e \int e^{u}\,du=e^{u}+C.

Passo 3

Escolha da substituição para esta integral:
  • Observação prática: no integrando aparece e^{\sqrt{x}} (uma composição) e também /\sqrt{x}. Isso sugere usar
u=\sqrt{x}.
  • Agora relacionamos du e dx. Como u=x^{1/2}, temos
du=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{2u}\,dx.
  • Isolando dx obtemos
dx=2u\,du.
(Nota: implicitamente estamos considerando x>0 para \sqrt{x} real; a manipulação vale para essa região.)

Passo 4

Fazer a substituição na integral e simplificar:
  • Substituindo u=\sqrt{x} e dx=2u\,du na integral original:
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{e^{u}}{u}\cdot 2u\,du.
  • Cancelam-se os fatores u:
\int \frac{e^{u}}{u}\cdot 2u\,du = 2\int e^{u}\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u:
  • Usando a integral conhecida \int e^{u}\,du=e^{u}+C, obtemos
2\int e^{u}\,du = 2e^{u}+C.

Passo 6

Retornar à variável original x e verificar:
  • Voltando para x com u=\sqrt{x}:
2e^{u}+C = 2e^{\sqrt{x}}+C.
  • Verificação rápida (derivação da primitiva encontrada):
\frac{d}{dx}\!\left(2e^{\sqrt{x}}\right)=2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

2e^{\sqrt{x}}+C

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