Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida (resultado com constante de integração
). - Não há limites de integração (é uma primitiva).
Passo 2
Método que vamos usar (substituição) — ideia intuitiva e fórmula:
- Quando a integranda é uma composição de funções do tipo
e aparece algo relacionado a , é conveniente fazer a substituição . - Se fizermos
, então . Em termos de temos . - A integral original em
se transforma numa integral em , que geralmente é mais simples de calcular. - Lembrete de fórmulas básicas:
e .
Passo 3
Escolha da substituição para esta integral:
- Observação prática: no integrando aparece
(uma composição) e também . Isso sugere usar
- Agora relacionamos
e . Como , temos
- Isolando
obtemos
(Nota: implicitamente estamos considerando
para
real; a manipulação vale para essa região.)
Passo 4
Fazer a substituição na integral e simplificar:
- Substituindo
e na integral original:
- Cancelam-se os fatores
:
Passo 5
Calcular a integral em
:
- Usando a integral conhecida
, obtemos
Passo 6
Retornar à variável original
e verificar:
- Voltando para
com :
- Verificação rápida (derivação da primitiva encontrada):
o que confirma que a primitiva está correta.