Questão 3(2,5) : Utilize o Teorema de Stokes para calcular \oint_{\mathcal{C}} \vec{F} \cdot d r, em que
\vec{F}(x, y, z)=\left(4 x^{3}-2, y^{2022}+2 x y+x z, \cos (z)-3 e^{x^{2}}\right)
e \mathcal{C} é a região delimitada pelo triângulo de vértices (2,0,0),(1,0,1) e (1,1,1) orientada no sentido anti-horário, com o normal apontando no sentido do crescimento do z (para “cima”).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(4x^{3}-2,\;y^{2022}+2xy+xz,\;\cos(z)-3e^{x^{2}}\bigr).
  • A curva \mathcal{C} é o contorno fechado do triângulo de vértices (2,0,0), (1,0,1) e (1,1,1). A orientação da curva é anti-horária quando vista de cima e o normal da superfície aponta para cima (sentido do crescimento de z).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \oint_{\mathcal{C}} \vec{F}\cdot d\vec r.

Passo 2

Usaremos o Teorema de Stokes. Vou explicar o enunciado do teorema de forma prática: se S é uma superfície orientada e \partial S=\mathcal{C} sua fronteira orientada de acordo com o sentido de S, então
\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot d\vec r=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F} e \vec{n}\,dS é o elemento de área orientado da superfície. Aqui a superfície natural é o próprio triângulo plano cujo contorno é \mathcal{C}, e o enunciado já diz que o normal aponta para cima (positivo em z), portanto usaremos essa orientação.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com
P=4x^{3}-2,\qquad Q=y^{2022}+2xy+xz,\qquad R=\cos(z)-3e^{x^{2}},
temos a fórmula
\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculemos cada derivada parcial:
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=x \quad\Rightarrow\quad (\nabla\times\vec{F})_{1}=0-x=-x.
\frac{\partial P}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=-3\cdot 2x e^{x^{2}}=-6x e^{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad (\nabla\times\vec{F})_{2}=0-(-6x e^{x^{2}})=6x e^{x^{2}}.
\frac{\partial Q}{\partial x}=2y+z,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0 \quad\Rightarrow\quad (\nabla\times\vec{F})_{3}=2y+z.
Logo
\boxed{\nabla\times\vec{F}=(-x,\;6x e^{x^{2}},\;2y+z).}

Passo 4

Descrever a superfície S (o triângulo) e obter sua equação como gráfico z=f(x,y) para usar projeção no plano xy.
Os vértices projetados no plano xy são (2,0), (1,0) e (1,1). Para achar o plano que contém os três pontos originais, calculo um vetor normal (ou escrevo a equação do plano). Dois vetores do plano são
\vec{AB}=(-1,0,1),\qquad \vec{AC}=(-1,1,1)
com A=(2,0,0), B=(1,0,1), C=(1,1,1). O produto vetorial
\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}=(-1,0,-1).
Esse \vec{n} tem componente z negativa; para ter o normal apontando para cima trocamos o sinal e usamos \vec{n}=(1,0,1). A equação do plano com esse normal passando por A é
1\cdot(x-2)+0\cdot(y-0)+1\cdot(z-0)=0\quad\Rightarrow\quad x-2+z=0,
portanto
\boxed{z=f(x,y)=2-x.}

Passo 5

Expressar o elemento de área orientado \vec{n}\,dS em termos de dA no plano xy.
Para uma superfície dada por z=f(x,y) com normal apontando para cima, o elemento de área vetorial é
\vec{n}\,dS=(-f_{x},-f_{y},1)\,dA,
onde dA é a área no plano xy. Aqui f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(2-x)=-1 e f_{y}=0. Logo
\vec{n}\,dS=(1,0,1)\,dA.

Passo 6

Calcular o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} e substituições.
Temos
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(-x,\;6x e^{x^{2}},\;2y+z)\cdot(1,0,1)=-x+0+(2y+z)=2y+z-x.
Substituindo z=2-x (equação do plano),
2y+z-x=2y+(2-x)-x=2y+2-2x=2\bigl(y+1-x\bigr).
Portanto o integrando da integral de superfície fica 2(y+1-x).

Passo 7

Determinar a região D no plano xy sobre a qual integrar e montar a integral dupla.
A projeção do triângulo no plano xy é o triângulo com vértices (2,0), (1,0) e (1,1). Para essa região é conveniente tomar x variando de 1 a 2 e, para cada x, y variando de 0 até a reta que liga (2,0) a (1,1), cuja equação é y=2-x. Assim
\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot d\vec r=\iint_{D}2(y+1-x)\,dA =\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{2-x}2(y+1-x)\,dy\,dx.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{2-x}2(y+1-x)\,dy = \bigl[y^{2}+2(1-x)y\bigr]_{0}^{2-x}.
Substituindo y=2-x:
(2-x)^{2}+2(1-x)(2-x).
Expandindo:
(2-x)^{2}=4-4x+x^{2},\qquad 2(1-x)(2-x)=4-6x+2x^{2},
soma = 8-10x+3x^{2}. Portanto a integral externa é
\int_{1}^{2}\bigl(8-10x+3x^{2}\bigr)\,dx.
Calcule a primitiva:
\int(8-10x+3x^{2})\,dx=8x-5x^{2}+x^{3}.
Avalie de x=1 a x=2:
\bigl(8\cdot 2-5\cdot 2^{2}+2^{3}\bigr)-\bigl(8\cdot 1-5\cdot 1^{2}+1^{3}\bigr) =(16-20+8)-(8-5+1)=4-4=0.

Passo 8

Concluir a integral de linha usando o resultado da integral de superfície.
Pelo Teorema de Stokes e pelo cálculo acima,
\oint_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot d\vec r=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS=0.
Força aí — às vezes essas integrais dão zero por cancelamentos bonitos. Boa sinalização pro dia da prova.

Resposta

0

Exercícios relacionados