Questão
: Utilize o Teorema de Stokes para calcular
, em que
e
é a região delimitada pelo triângulo de vértices
e
orientada no sentido anti-horário, com o normal apontando no sentido do crescimento do
(para “cima”).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado o campo vetorial
- A curva
é o contorno fechado do triângulo de vértices , e . A orientação da curva é anti-horária quando vista de cima e o normal da superfície aponta para cima (sentido do crescimento de ). - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Usaremos o Teorema de Stokes. Vou explicar o enunciado do teorema de forma prática: se
é uma superfície orientada e
sua fronteira orientada de acordo com o sentido de
, então
onde
é o rotacional (curl) de
e
é o elemento de área orientado da superfície. Aqui a superfície natural é o próprio triângulo plano cujo contorno é
, e o enunciado já diz que o normal aponta para cima (positivo em
), portanto usaremos essa orientação.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Para
com
temos a fórmula
Calculemos cada derivada parcial:
Logo
Passo 4
Descrever a superfície
(o triângulo) e obter sua equação como gráfico
para usar projeção no plano
.
Os vértices projetados no plano
são
,
e
. Para achar o plano que contém os três pontos originais, calculo um vetor normal (ou escrevo a equação do plano). Dois vetores do plano são
com
,
,
. O produto vetorial
Esse
tem componente
negativa; para ter o normal apontando para cima trocamos o sinal e usamos
. A equação do plano com esse normal passando por
é
portanto
Passo 5
Expressar o elemento de área orientado
em termos de
no plano
.
Para uma superfície dada por
com normal apontando para cima, o elemento de área vetorial é
onde
é a área no plano
. Aqui
e
. Logo
Passo 6
Calcular o produto escalar
e substituições.
Temos
Substituindo
(equação do plano),
Portanto o integrando da integral de superfície fica
.
Passo 7
Determinar a região
no plano
sobre a qual integrar e montar a integral dupla.
A projeção do triângulo no plano
é o triângulo com vértices
,
e
. Para essa região é conveniente tomar
variando de
a
e, para cada
,
variando de
até a reta que liga
a
, cuja equação é
. Assim
Calculemos a integral interna:
Substituindo
:
Expandindo:
soma =
. Portanto a integral externa é
Calcule a primitiva:
Avalie de
a
:
Passo 8
Concluir a integral de linha usando o resultado da integral de superfície.
Pelo Teorema de Stokes e pelo cálculo acima,
Força aí — às vezes essas integrais dão zero por cancelamentos bonitos. Boa sinalização pro dia da prova.