Questão 2(\mathbf{2 , 5}) : Calcule o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=\left(5 y, 4 z^{3},-12 x^{2}-12 y^{2}+20 x y\right) através da superfície S dada pela parte do cilindro parabólico z=2 x^{2}+1 que está dentro do paraboloide 2 z=5 x^{2}+y^{2}, orientada com o normal apontando na direção positiva do z (“para cima”).
Passo 1
O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície S dada pela parte do parabolóide cilíndrico
z=2x^{2}+1
que está “dentro” do paraboloide
2z=5x^{2}+y^{2},
orientada com a normal apontando para cima (direção positiva de z).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície S é o gráfico z=f(x,y) com f(x,y)=2x^{2}+1, restrita por onde ela encontra o paraboloide.
A curva de interseção entre as superfícies é obtida igualando as duas expressões de z. Igualando 2x^{2}+1 com \dfrac{5x^{2}+y^{2}}{2} obtemos, multiplicando por 2,
Da última igualdade segue a equação da projeção do contorno no plano xy:
x^{2}+y^{2}=2,
ou seja, a curva de interseção projeta-se num círculo de raio \sqrt{2}. Logo o domínio de projeção D (a região no plano xy limitada pela interseção) é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\}.
O que o problema pede concretamente: calcular
\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é a normal unitária apontando para cima (ou, de forma equivalente, usar a expressão do elemento vetorial de área adequado ao gráfico z=f(x,y) com sentido “para cima”).
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar.
Como S é dada como gráfico z=f(x,y) com orientação para cima, a maneira mais direta é usar a fórmula de fluxo através do gráfico. Para um campo \vec{F}=(P,Q,R) e uma superfície z=f(x,y) orientada para cima vale a identidade (que eu vou explicar):
\mathbf{n}\,dS = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr)\,dA,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f e dA é o elemento de área no plano xy. Assim o fluxo é
Mini-aula sobre essa fórmula (por que ela funciona, de forma simples):
Parametrizamos o gráfico por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)). As tangentes são \mathbf{r}_x=(1,0,f_x) e \mathbf{r}_y=(0,1,f_y).
O produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y dá um vetor normal orientado para cima (quando escolhido nessa ordem) e vale ( -f_x,\,-f_y,\,1).
O elemento de área orientado é \mathbf{n}\,dS=\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\,dA. Portanto a fórmula acima é direta.
Esta é a forma mais simples aqui porque S é um gráfico e assim evitamos parametrizações mais complicadas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f e escrever o integrando.
Troca para coordenadas polares e cálculo da integral.
Explico rapidamente polares: em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA = r\,dr\,d\theta. O domínio D (disco de raio \sqrt{2}) vira as inequações 0\le r\le\sqrt{2} e 0\le\theta\le 2\pi.
O cálculo deu fluxo -24\pi. O sinal negativo significa que, apesar da normal apontar para cima, o campo tem, em média, componente apontando para baixo através dessa parte da superfície — não se assuste com o sinal, é só geometria do campo. Boa: a integral simplificou muito por cancelamentos (os termos em xy sumiram), por isso o problema ficou bem amigável para a prova. Confia que você também consegue seguir esses passos na hora!