Considere a seguinte equaçio diferencial:
a) A equaçāo (1) é exata? Justifque sua resposta.
b) Caso sua resposta para o item (a) seja negativa, determine um fator integrante para a equação (1). Sugestão: tente um fator integrante da forma
.
c) Encontre a soluçāo geral da equaçāo (1).
b) Caso sua resposta para o item (a) seja negativa, determine um fator integrante para a equação (1). Sugestão: tente um fator integrante da forma
c) Encontre a soluçāo geral da equaçāo (1).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
As perguntas são:
(a) A equação é exata? Justificar.
(b) Se não for exata, encontrar um fator integrante do tipo sugerido , com
. (Observação: a sugestão usa a incógnita
que não aparece na equação; nesta resolução vou interpretar
como sendo
, isto é, vou tentar um fator integrante da forma
.)
(c) Determinar a solução geral da equação.
(a) A equação é exata? Justificar.
(b) Se não for exata, encontrar um fator integrante do tipo sugerido
(c) Determinar a solução geral da equação.
Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita no formato
com e . - Foi sugerida tentativa de fator integrante dependente da razão
.
Passo 2
Teste de exatidão (definição e aplicação).
Definição rápida e intuitiva: uma equação do tipo
Definição rápida e intuitiva: uma equação do tipo
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Um teste prático é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Aqui
e
. Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Estratégia para encontrar um fator integrante dependente de
.
Teoria: se é um fator integrante, multiplicando a equação por
obtém-se
Teoria: se
que deve ser exata, ou seja,
Vamos tentar
com
e
uma função a determinar. Preciso calcular
e
usando regra da cadeia. Como
,
Com
temos, pela cadeia,
Passo 4
Aplicar condição de exatidão para
e obter equação para
.
Começamos computando os dois lados de .
Começamos computando os dois lados de
Lado esquerdo:
Sabendo
e
, e usando
, obtemos
Lado direito:
Sabendo
e
, e usando
, obtemos
Impondo igualdade:
Reorganizando os termos:
Dividindo por
:
Isto é uma equação diferencial ordinária para
em termos de
. Podemos escrever
Passo 5
Resolver a equação para
(integração).
Integramos ambos os lados em :
Integramos ambos os lados em
O lado esquerdo é
, o direito é
. Portanto
onde
é constante positiva (constante não nula). Como fator integrante podemos tomar qualquer múltiplo não nulo de
; tomamos a escolha simples
. Assim um fator integrante conveniente é
Passo 6
Multiplicar a equação original pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando por
obtemos
Multiplicando
que simplifica para
Definindo
e
, checamos:
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada é exata, confirmando que
é um fator integrante válido.
Passo 7
Encontrar a função potencial e a solução geral (integração).
Como a equação multiplicada é exata, existe tal que
Como a equação multiplicada é exata, existe
Integramos
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função a determinar. Diferenciando
em relação a
,
Como
deve ser igual a
, obtemos
Logo
é constante, e a função potencial é
A solução implícita geral da equação exata é
, ou seja
Podemos reescrever em forma mais usual isolando
:
Resposta
(a) Não;
e
, logo são diferentes.
(b) Um fator integrante é .
(c) Solução geral (implícita): .
(b) Um fator integrante é
(c) Solução geral (implícita):