Considere a seguinte equaçio diferencial:
y d x-3 x d y=0
a) A equaçāo (1) é exata? Justifque sua resposta.
b) Caso sua resposta para o item (a) seja negativa, determine um fator integrante para a equação (1). Sugestão: tente um fator integrante da forma u(x, y)=h\left(\frac{z}{x}\right), h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.
c) Encontre a soluçāo geral da equaçāo (1).

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y\,dx - 3x\,dy = 0.
As perguntas são:
(a) A equação é exata? Justificar.
(b) Se não for exata, encontrar um fator integrante do tipo sugerido u(x,y)=h\!\left(\frac{z}{x}\right), com h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. (Observação: a sugestão usa a incógnita z que não aparece na equação; nesta resolução vou interpretar z como sendo y, isto é, vou tentar um fator integrante da forma u(x,y)=h\!\left(\frac{y}{x}\right).)
(c) Determinar a solução geral da equação.
Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita no formato M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=y e N(x,y)=-3x.
  • Foi sugerida tentativa de fator integrante dependente da razão \dfrac{y}{x}.

Passo 2

Teste de exatidão (definição e aplicação).
Definição rápida e intuitiva: uma equação do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x = M e \Phi_y = N. Um teste prático é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui M(x,y)=y e N(x,y)=-3x. Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-3x)=-3.
Como 1 \neq -3, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Estratégia para encontrar um fator integrante dependente de \dfrac{y}{x}.
Teoria: se \mu(x,y) é um fator integrante, multiplicando a equação por \mu obtém-se
\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0,
que deve ser exata, ou seja,
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}.
Vamos tentar \mu(x,y)=h(v) com v=\dfrac{y}{x} e h uma função a determinar. Preciso calcular \mu_x e \mu_y usando regra da cadeia. Como v=y/x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{y}{x^2} = -\frac{v}{x}, \qquad v_y = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}.
Com \mu(x,y)=h(v) temos, pela cadeia,
\mu_x = h'(v)\,v_x = h'(v)\left(-\frac{v}{x}\right), \qquad \mu_y = h'(v)\,v_y = h'(v)\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 4

Aplicar condição de exatidão para \mu=h(v) e obter equação para h.
Começamos computando os dois lados de \partial(\mu M)/\partial y = \partial(\mu N)/\partial x.
Lado esquerdo:
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \mu_y M + \mu \frac{\partial M}{\partial y}.
Sabendo M=y e \dfrac{\partial M}{\partial y}=1, e usando \mu_y = h'(v)\dfrac{1}{x}, obtemos
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \left(h'(v)\frac{1}{x}\right)\cdot y + h(v)\cdot 1 = h'(v)\,v + h(v).
Lado direito:
\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} = \mu_x N + \mu \frac{\partial N}{\partial x}.
Sabendo N=-3x e \dfrac{\partial N}{\partial x}=-3, e usando \mu_x = h'(v)\left(-\frac{v}{x}\right), obtemos
\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} = \left(h'(v)\left(-\frac{v}{x}\right)\right)\cdot(-3x) + h(v)\cdot(-3) = 3v\,h'(v) - 3h(v).
Impondo igualdade:
h'(v)\,v + h(v) = 3v\,h'(v) - 3h(v).
Reorganizando os termos:
h'(v)\,v - 3v\,h'(v) + h(v) + 3h(v) = 0
-2v\,h'(v) + 4h(v) = 0.
Dividindo por 2:
-v\,h'(v) + 2h(v) = 0
v\,h'(v) = 2h(v).
Isto é uma equação diferencial ordinária para h em termos de v. Podemos escrever
\frac{h'(v)}{h(v)} = \frac{2}{v}.

Passo 5

Resolver a equação para h (integração).
Integramos ambos os lados em v:
\int \frac{h'(v)}{h(v)}\,dv = \int \frac{2}{v}\,dv.
O lado esquerdo é \ln|h(v)|, o direito é 2\ln|v| + C. Portanto
\ln|h(v)| = 2\ln|v| + C \quad\Rightarrow\quad h(v) = C_1 v^{2},
onde C_1=e^{C} é constante positiva (constante não nula). Como fator integrante podemos tomar qualquer múltiplo não nulo de h; tomamos a escolha simples h(v)=v^{2}. Assim um fator integrante conveniente é
\mu(x,y) = \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{y^2}{x^2}.

Passo 6

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando y\,dx - 3x\,dy = 0 por \mu=\dfrac{y^2}{x^2} obtemos
\frac{y^2}{x^2}\,y\,dx - 3\frac{y^2}{x^2} x\,dy = 0,
que simplifica para
\frac{y^3}{x^2}\,dx - 3\frac{y^2}{x}\,dy = 0.
Definindo M^*(x,y)=\dfrac{y^3}{x^2} e N^*(x,y)=-3\dfrac{y^2}{x}, checamos:
\frac{\partial M^*}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^3}{x^2}\right) = \frac{3y^2}{x^2},
\frac{\partial N^*}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-3\frac{y^2}{x}\right) = -3y^2\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{3y^2}{x^2}.
Como as duas derivadas coincidem, a equação multiplicada é exata, confirmando que \mu=\dfrac{y^2}{x^2} é um fator integrante válido.

Passo 7

Encontrar a função potencial e a solução geral (integração).
Como a equação multiplicada é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\Phi_x = M^*(x,y) = \frac{y^3}{x^2}, \qquad \Phi_y = N^*(x,y) = -3\frac{y^2}{x}.
Integramos \Phi_x em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y) = \int \frac{y^3}{x^2}\,dx = y^3 \int x^{-2}\,dx = y^3\left(-x^{-1}\right) + g(y) = -\frac{y^3}{x} + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar. Diferenciando \Phi em relação a y,
\Phi_y = -\frac{3y^2}{x} + g'(y).
Como \Phi_y deve ser igual a N^*(x,y) = -3\frac{y^2}{x}, obtemos
-\frac{3y^2}{x} + g'(y) = -\frac{3y^2}{x} \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g é constante, e a função potencial é
\Phi(x,y) = -\frac{y^3}{x} + \text{const}.
A solução implícita geral da equação exata é \Phi(x,y)=C, ou seja
-\frac{y^3}{x} = C.
Podemos reescrever em forma mais usual isolando y:
\frac{y^3}{x} = K \quad\text{(com \(K=-C\) constante)},\qquad\text{ou}\qquad y = \bigl(Kx\bigr)^{1/3}.

Resposta

(a) Não; \dfrac{\partial M}{\partial y}=1 e \dfrac{\partial N}{\partial x}=-3, logo são diferentes.
(b) Um fator integrante é \displaystyle \mu(x,y)=\left(\frac{y}{x}\right)^2=\frac{y^2}{x^2}.
(c) Solução geral (implícita): \displaystyle -\frac{y^3}{x}=C.

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