Questão
: Calcule
em que
é a superfície do cilindro
, entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de superfície
onde
é a superfície lateral do cilindro
limitada entre os planos
e
.
Informações importantes dadas:
- A superfície é o revestimento lateral do cilindro de raio
(porque ). - O cilindro é limitado por dois cortes: um plano horizontal
e um plano oblíquo . - O integrando é a função escalar
. - Precisamos integrar essa função com o elemento de área
sobre a superfície lateral .
Passo 2
Escolha de parametrização e fórmula a usar.
Para integrar uma função escalar sobre uma superfície parametrizada por
usa-se a fórmula
onde
e
são as derivadas parciais.
No nosso caso a superfície é um cilindro de raio
. Uma parametrização natural usa o ângulo
e a coordenada
:
com
variando em
e
variando entre as duas curvas de interseção (uma depende de
porque o plano oblíquo corta o cilindro formando uma curva).
Passo 3
Cálculo dos vetores tangentes e do elemento de área.
Derivando:
O produto vetorial é
A norma deste vetor é
Logo o elemento de área é
. (Interpretação: a circunferência de raio 4 tem comprimento infinitesimal
; multiplicando pela variação em
obtém-se a pequena placa lateral.)
Passo 4
Expressar o integrando na parametrização e determinar os limites em
.
Na parametrização temos
Portanto
O integrando fica
que não depende de
.
Os limites em
:
- A curva de interseção com o plano
dá o limite inferior . - A curva de interseção com
implica . Substituindo obtemos o limite superior
Assim, para cada
temos
.
Passo 5
Montar a integral dupla e integrar em
.
Usando a fórmula do Passo 2, a integral torna-se
Como o integrando não depende de
, a integração em
dá apenas o fator
. Assim
Passo 6
Desenvolver o integrando em termos trigonométricos e usar propriedades de integrais sobre um período.
Expandindo:
Então
Agora observe propriedades usuais (essas são úteis na hora da prova):
- A integral de
, , sobre é zero porque são funções de média zero num período completo. - Para o termo
também se tem integral zero, por exemplo usando a identidade
e
.
Portanto, todos os termos que envolvem seno ou cosseno têm integral nula, restando apenas o termo constante: