Questão 1(2,5) : Calcule
\iint_{S}(1+x+x z) d S
em que S é a superfície do cilindro x^{2}+z^{2}=16, entre os planos y=-2 e 8 y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral de superfície
\iint_{S}(1+x+x z)\,dS
onde S é a superfície lateral do cilindro x^{2}+z^{2}=16 limitada entre os planos y=-2 e 8y+z=0.
Informações importantes dadas:
  • A superfície é o revestimento lateral do cilindro de raio 4 (porque x^{2}+z^{2}=16\Rightarrow r=4).
  • O cilindro é limitado por dois cortes: um plano horizontal y=-2 e um plano oblíquo 8y+z=0.
  • O integrando é a função escalar f(x,y,z)=1+x+xz.
  • Precisamos integrar essa função com o elemento de área dS sobre a superfície lateral S.

Passo 2

Escolha de parametrização e fórmula a usar.
Para integrar uma função escalar sobre uma superfície parametrizada por \mathbf r(u,v) usa-se a fórmula
\iint_{S} f\,dS=\iint_{D} f\big(\mathbf r(u,v)\big)\,\big\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\big\|\,du\,dv,
onde \mathbf r_{u} e \mathbf r_{v} são as derivadas parciais.
No nosso caso a superfície é um cilindro de raio 4. Uma parametrização natural usa o ângulo \theta e a coordenada y:
\mathbf r(\theta,y)=\big(4\cos\theta,\;y,\;4\sin\theta\big),
com \theta variando em [0,2\pi) e y variando entre as duas curvas de interseção (uma depende de \theta porque o plano oblíquo corta o cilindro formando uma curva).

Passo 3

Cálculo dos vetores tangentes e do elemento de área.
Derivando:
\mathbf r_{\theta}(\theta,y)=\big(-4\sin\theta,\;0,\;4\cos\theta\big), \qquad \mathbf r_{y}(\theta,y)=\big(0,\;1,\;0\big).
O produto vetorial é
\mathbf r_{\theta}\times\mathbf r_{y} = \big(-4\cos\theta,\;0,\;-4\sin\theta\big).
A norma deste vetor é
\big\|\mathbf r_{\theta}\times\mathbf r_{y}\big\| = 4\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=4.
Logo o elemento de área é dS=4\,d\theta\,dy. (Interpretação: a circunferência de raio 4 tem comprimento infinitesimal 4\,d\theta; multiplicando pela variação em y obtém-se a pequena placa lateral.)

Passo 4

Expressar o integrando na parametrização e determinar os limites em y.
Na parametrização temos
x=4\cos\theta,\qquad z=4\sin\theta.
Portanto
xz = 4\cos\theta\cdot 4\sin\theta = 16\cos\theta\sin\theta = 8\sin(2\theta).
O integrando fica
1+x+xz = 1 + 4\cos\theta + 8\sin(2\theta),
que não depende de y.
Os limites em y:
  • A curva de interseção com o plano y=-2 dá o limite inferior y=-2.
  • A curva de interseção com 8y+z=0 implica y=-z/8. Substituindo z=4\sin\theta obtemos o limite superior
y = -\frac{4\sin\theta}{8} = -\frac{\sin\theta}{2}.
Assim, para cada \theta temos y\in\big[-2,\; -\dfrac{\sin\theta}{2}\big].

Passo 5

Montar a integral dupla e integrar em y.
Usando a fórmula do Passo 2, a integral torna-se
\iint_{S}(1+x+xz)\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{y=-2}^{y=-\frac{\sin\theta}{2}} \big(1+4\cos\theta+8\sin(2\theta)\big)\cdot 4\,dy\,d\theta.
Como o integrando não depende de y, a integração em y dá apenas o fator \big(-\dfrac{\sin\theta}{2}-(-2)\big)=2-\dfrac{\sin\theta}{2}. Assim
\iint_{S}=\;4\int_{0}^{2\pi}\big(1+4\cos\theta+8\sin(2\theta)\big)\left(2-\frac{\sin\theta}{2}\right)\,d\theta.

Passo 6

Desenvolver o integrando em termos trigonométricos e usar propriedades de integrais sobre um período.
Expandindo:
\big(1+4\cos\theta+8\sin(2\theta)\big)\!\left(2-\frac{\sin\theta}{2}\right) =2 -\frac{\sin\theta}{2} +8\cos\theta +15\sin(2\theta) -4\sin(2\theta)\sin\theta.
Então
\iint_{S}=4\int_{0}^{2\pi}\left[2 -\frac{\sin\theta}{2} +8\cos\theta +15\sin(2\theta) -4\sin(2\theta)\sin\theta\right]d\theta.
Agora observe propriedades usuais (essas são úteis na hora da prova):
  • A integral de \sin\theta, \cos\theta, \sin(2\theta) sobre [0,2\pi] é zero porque são funções de média zero num período completo.
  • Para o termo \sin(2\theta)\sin\theta também se tem integral zero, por exemplo usando a identidade
\sin(2\theta)\sin\theta=\tfrac{1}{2}\big(\cos\theta-\cos 3\theta\big),
e \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\cos 3\theta\,d\theta=0.
Portanto, todos os termos que envolvem seno ou cosseno têm integral nula, restando apenas o termo constante:
\iint_{S}=4\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta =4\cdot 2\cdot 2\pi =16\pi.

Resposta

16\pi

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