Questão 0.3. (vale 1,0) Prove que
|x|-|y | <=|x-y|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais x e y, vale
l|lvert xrvert - lvert yrvertr|;<=;lvert x - yrvert
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade triangular
lvert a + brvert <= lvert arvert + lvert brvert,
aplicada de forma adequada para obter uma estimativa de lvert xrvert - lvert yrvert e vice-versa.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular tomando a = x - y e b = y. Assim
lvert xrvert = lvert (x - y) + yrvert <= lvert x - yrvert + lvert yrvert
Reorganizando, obtemos
lvert xrvert - lvert yrvert <= lvert x - yrvert

Passo 3

Agora trocamos o papel de x e y. Tomamos a = y - x e b = x. A desigualdade triangular dá
lvert yrvert = lvert (y - x) + xrvert <= lvert y - xrvert + lvert xrvert = lvert x - yrvert + lvert xrvert
Logo
lvert yrvert - lvert xrvert <= lvert x - yrvert

Passo 4

Das duas desigualdades
lvert xrvert - lvert yrvert <= lvert x - yrvert e lvert yrvert - lvert xrvert <= lvert x - yrvert
segue que
-(lvert x - yrvert)<= lvert xrvert - lvert yrvert <= lvert x - yrvert,
o que é exatamente a afirmação de que
l|lvert xrvert - lvert yrvertr|<= lvert x - yrvert

Resposta

l|lvert xrvert - lvert yrvertr|;<=;lvert x - yrvert

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