Determine a>0 para que a função f: R R dada por
f(x)= sin (raiza x^2+7 x^4)|x|, & se x neq 0 4, & se x=0 seja contínua.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfracsin!(raiza x^2+7 x^4)|x|,&xneq0,[6pt] 4,&x=0,
e pede o valor de a>0 para que f seja contínua em x=0. Para isso precisamos ter
limxto0f(x)=f(0)=4
]

Passo 2

Quando xto0, note que
raiza x^2+7 x^4 =|x|raiza+7x^2
Definindo
y=raiza x^2+7 x^4 =|x|raiza+7x^2,
podemos reescrever, para xneq0,
f(x) =sin(y)|x|

Passo 3

Escrevemos
f(x) =sin(y)y,y|x|
Ao deixar xto0, temos yto0. Sabemos que limyto0sin(y)y=1. Além disso,
y|x| =raiza+7x^2 ;xrightarrow[xto0];raiza
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limxto0f(x) =limyto0sin(y)y;cdot;limxto0raiza+7x^2 =1cdotraiza =raiza

Passo 4

Para f ser contínua em 0 precisamos
limxto0f(x)=f(0),
ou seja
raiza=4 Longrightarrow a=16

Resposta

16

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