Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam . Mostre que:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a transitividade da desigualdade em R: dados a,b,cinR com a<= b e b<= c, provar que a<= c. Para isso vamos usar a definição de desigualdade em termos de não-negatividade e o fato de que a soma de dois não-negativos é não-negativa.

Passo 2

Pela definição de <= no corpo ordenado dos reais,
a<= bLongrightarrow b - a >= 0,
b<= cLongrightarrow c - b >= 0

Passo 3

Agora somamos as duas desigualdades. Pelo axioma que afirma que a soma de números não-negativos é não-negativa, temos
(b - a) + (c - b) ;>=; 0 + 0

Passo 4

No lado esquerdo simplifica para
(b - a) + (c - b) = c - a,
e no direito fica 0. Logo
c - a >= 0,
o que, pela definição, equivale a
a <= c

Resposta

a <= c

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