Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a transitividade da desigualdade em
: dados
com
e
, provar que
. Para isso vamos usar a definição de desigualdade em termos de não-negatividade e o fato de que a soma de dois não-negativos é não-negativa.
Passo 2
Pela definição de
no corpo ordenado dos reais,
Passo 3
Agora somamos as duas desigualdades. Pelo axioma que afirma que a soma de números não-negativos é não-negativa, temos
Passo 4
No lado esquerdo simplifica para
e no direito fica
. Logo
o que, pela definição, equivale a