Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam a, b, c in R. Mostre que:
0<a<b Rightarrow b^-1<a^-1

Passo 1

O enunciado afirma que a,b,cinR e que
0<a<b
O que queremos mostrar é que o inverso de b fica abaixo do inverso de a, isto é,
b^-1<a^-1
Para isso vamos usar propriedades de desigualdades e o fato de que, para números positivos, o produto continua positivo e multiplicar por um número positivo não inverte o sentido da desigualdade.

Passo 2

Como a>0 e b>0, o produto ab também é positivo:
ab>0

Passo 3

Da desigualdade a<b subtraímos a de ambos os lados sem alterar o sentido:
b - a > 0

Passo 4

Multiplicamos a desigualdade b - a>0 pelo número (ab)^-1, que é positivo, de modo que o sentido da desigualdade permanece:
b - aab > 0

Passo 5

Reescrevendo o lado esquerdo, temos
b-aab = bab-aab = a^-1-b^-1
Logo,
a^-1-b^-1>0

Passo 6

Da desigualdade a^-1-b^-1>0 segue que
a^-1>b^-1,
ou, invertendo a ordem,
b^-1<a^-1

Resposta

b^-1<a^-1

Exercícios relacionados