Questão 4 (valor 20 pontos cada) Dadas as funções f=e^x(x^2+1), obtenha a equação da reta tangente à curva y=f^prime(x) no ponto de coordenada x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^x(x^2+1)
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de y=f'(x) no ponto de abscissa x=0.
Para isso vamos precisar de f'(x), de f'(0) (o ponto) e de f''(0) (a inclinação da reta).

Passo 2

Calcular f'(x) pela regra do produto em f(x)=e^xcdot(x^2+1):
f'(x)=(e^x)'(x^2+1)+e^x(x^2+1)' = e^x(x^2+1)+e^xcdot2x = e^x(x^2+2x+1) = e^x(x+1)^2

Passo 3

Agora obtemos f'(0) e a inclinação m=f''(0). Primeiro derivamos f'(x):
f''(x) =l(e^x(x+1)^2r)' = e^x(x+1)^2+e^xcdot2(x+1) = e^xl[(x+1)^2+2(x+1)r] = e^x(x+1)(x+3)
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f'(0)=e^0cdot1^2=1, f''(0)=e^0cdot(1cdot3)=3

Passo 4

A reta tangente a y=f'(x) no ponto l(0,f'(0)r)=(0,1) com inclinação m=3 é dada por
y-1=3,(x-0),
ou seja
y=3x+1

Resposta

y=3x+1

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