Questão 3 (valor 10 pontos) Dadas as funções
e
, mostre que existe um valor
real para
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede para mostrar que existe algum
tal que
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado à função contínua
para garantir uma raiz, junto com a análise do sinal de
num intervalo.
Passo 2
Definimos a função
Como
e
são polinômios,
é contínua em
. Agora avaliamos
em dois pontos:
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e muda de sinal entre
e
, existe pelo menos um
tal que
Passo 4
Agora, note que
Essa expressão satisfaz
exatamente para
. Como o
do TVI está em
, segue que
Resposta
Existe
tal que
e
.