Questão 3 (valor 10 pontos) Dadas as funções f(x)=x^2-3 x+2, g(x)=4 x^3+3 x e h(x)=6 x^2+2, mostre que existe um valor c real para x tal que f(x) <= 0 e g(x)=h(x).

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^2-3x+2, g(x)=4x^3+3x, h(x)=6x^2+2
e pede para mostrar que existe algum cinR tal que
f(c)<=0 e g(c)=h(c)
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado à função contínua p(x)=g(x)-h(x) para garantir uma raiz, junto com a análise do sinal de f(x) num intervalo.

Passo 2

Definimos a função
p(x)=g(x)-h(x)=4x^3+3x-l(6x^2+2r)=4x^3-6x^2+3x-2
Como g e h são polinômios, p é contínua em R. Agora avaliamos p em dois pontos:
p(1)=4cdot1^3-6cdot1^2+3cdot1-2=4-6+3-2=-1<0,
p(2)=4cdot2^3-6cdot2^2+3cdot2-2=32-24+6-2=12>0

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como p é contínua e muda de sinal entre x=1 e x=2, existe pelo menos um cin(1,2) tal que
p(c)=0 Longrightarrow g(c)-h(c)=0 Longrightarrow g(c)=h(c)

Passo 4

Agora, note que
f(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
Essa expressão satisfaz f(x)<=0 exatamente para xin[1,2]. Como o c do TVI está em (1,2)subset[1,2], segue que
f(c)<=0

Resposta

Existe cin(1,2) tal que g(c)=h(c) e f(c)<=0.

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