Questāo 1 (valor 30): Os dados a seguir mostram a profundidade da banda de rodagem (mm), de 8 pneus selecionados aleatoriamente de um grande carregamento recebido por um revendedor:
5.9
6.5
6,8
6,9
8,1
7.1
7.5
7,2
Calcular a média e a mediana e escolher qual dessas medidas representa melhor a profundidade da banda de rodagem. Justificar sua escolha.

Passo 1

O enunciado dá as profundidades da banda de rodagem (em mm) de 8 pneus (peguei estes números do enunciado):
5,9,\;6,5,\;6,8,\;6,9,\;8,1,\;7,1,\;7,5,\;7,2.
Pede-se:
  • Calcular a média aritmética;
  • Calcular a mediana;
  • Escolher qual das duas medidas representa melhor a profundidade e justificar a escolha.

Passo 2

O que é e como calcular a média aritmética (explicação didática).
  • A média aritmética é o “valor médio” obtido somando todos os valores e dividindo pelo número de observações.
  • Fórmula: \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são os valores observados. Aqui n=8 e cada x_i é uma profundidade em mm.

Passo 3

Cálculo detalhado da média (faça isto passo a passo na prova).
  • Primeiro somar todos os valores (escreva a soma para evitar erros):
\sum_{i=1}^{8} x_i = 5,9+6,5+6,8+6,9+8,1+7,1+7,5+7,2 = 56,0.
  • Agora aplicar a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{56,0}{8}=7,0\\ \text{mm}.
Portanto a média aritmética é \bar{x}=7,0\\ \text{mm}.

Passo 4

O que é e como calcular a mediana (explicação didática).
  • A mediana é o valor que “divide” os dados ordenados em duas metades com o mesmo número de observações em cada lado.
  • Procedimento: ordenar os dados em ordem crescente e:
    • se n for ímpar, a mediana é o valor do elemento central x_{((n+1)/2)};
    • se n for par (como aqui, n=8), a mediana é a média dos dois elementos centrais x_{(n/2)} e x_{(n/2+1)}.

Passo 5

Ordenação dos dados e cálculo da mediana (passo a passo que você pode reproduzir na prova).
  • Ordenando em ordem crescente (peguei os valores do enunciado):
5,9,\;6,5,\;6,8,\;6,9,\;7,1,\;7,2,\;7,5,\;8,1.
  • Como n=8, os dois elementos centrais são o 4.º e o 5.º: x_{(4)}=6,9 e x_{(5)}=7,1.
  • A mediana é a média desses dois:
\text{mediana}=\frac{6,9+7,1}{2}=\frac{14,0}{2}=7,0\\ \text{mm}.

Passo 6

Comparação, interpretação e escolha da melhor medida (explicação didática e justificativa).
  • Aqui encontramos \bar{x}=7,0\\ \text{mm} e \text{mediana}=7,0\\ \text{mm}: os dois coincidem exatamente.
  • O significado prático:
    • A média usa todas as observações e é eficiente (tem menor variância) quando a distribuição é aproximadamente simétrica e não há outliers extremos.
    • A mediana é mais robusta a valores extremos (outliers) — não é afetada por um valor muito grande ou muito pequeno.
  • No conjunto dado o mínimo é 5,9 e o máximo é 8,1 (intervalo razoável, sem outlier óbvio), e média = mediana; isso indica que os dados não apresentam assimetria forte nem outliers que distorçam a média.
  • Conclusão prática para a prova: como média e mediana coincidem e não há indícios de outliers, a média aritmética é uma boa escolha para representar a profundidade (porque aproveita toda a informação disponível). A mediana também é adequada — ambas representam bem os dados — mas, se for preciso escolher uma, eu indicaria a média por ser a medida de tendência central mais informativa quando não há outliers.

Passo 7

Dica rápida para a prova (como decidir rápido em questões parecidas).
  • Ordene os dados e calcule a mediana rápido (para ver se coincide com a média).
  • Calcule a média somando e dividindo; se os dois forem parecidos e não houver pontos muito extremos, use a média.
  • Se houver um valor claramente isolado (outlier), prefira citar a mediana como representação mais robusta.

Resposta

Média = 7,0\\ \text{mm}
Mediana = 7,0\\ \text{mm}
Melhor medida: a média aritmética representa bem a profundidade (a mediana também é adequada); justificativa: média e mediana coincidem e não há outlier evidente, então a média, por usar toda a informação, é a escolha recomendada.

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