Questão 3
Valor: 1,50
Considere as matrizes A=[ai j]3 times 3 tal que ai j=ccc2 i-4 j & se & ineq j 1 & se & i=j, B=[bi j]3 times 3, tal que bi j=-5 i+2 j, C=[cc4 & 0 2 & 1 0 & 1], D=[ccc2 a+b & 2 & 0 4 & 0 & -5 a+4 b] e E=[cc4 & 2 16 & 1]
a) Encontre A e B.
b) Encontre números reais a e b, tais que D C=E.
c) Considere a=0 e b=1. Calcule (C D)^T-12(A+B).

Passo 1

O enunciado define as matrizes
A=(aij)3times3, aij= 2i-4j,&ineq j, 1,&i=j,
B=(bij)3times3, bij=-5i+2j,
C=4&02&10&1, D=2a+b&2&04&0&-5a+4b, E=4&216&1
Pedem:
a) calcular A e B.
b) achar reais a,b tais que D,C=E.
c) tomando a=0, b=1, calcular (C,D)^T-tfrac12(A+B).

Passo 2

Calcular A e B:
Para A, na diagonal aii=1. Fora da diagonal,
a12=2cdot1-4cdot2=-6,
a13=2-12=-10,
a21=4-4=0,
a23=4-12=-8,
a31=6-4=2,
a32=6-8=-2.
Logo
A= 1 & -6 & -10 0 & 1 & -8 2 & -2 & 1
Para B,
bij=-5i+2j
B= -5+2 & -5+4 & -5+6 -10+2&-10+4&-10+6 -15+2&-15+4&-15+6 = -3 & -1 & 1 -8 & -6 & -4 -13&-11&-9

Passo 3

Determinar a,b tal que D,C=E. Primeiro, calcule
D,C =2a+b&2&04&0&-5a+4b 4&02&10&1 = 8a+4b+4 & 2 16 & -5a+4b
Queremos isso igual a 4&216&1. Assim
8a+4b+4=4, -5a+4b=1
Da primeira vem 8a+4b=0Rightarrow2a+b=0. Substituindo em -5a+4b=1:
b=-2aRightarrow -5a+4(-2a)=-13a=1 Rightarrow a=-tfrac113, b=tfrac213

Passo 4

Com a=0, b=1, temos
D=2cdot0+1&2&04&0&-5cdot0+4cdot1 =1&2&04&0&4
Calcule C,D:
C,D =4&02&10&1 1&2&04&0&4 = 4&8&0 6&4&4 4&0&4 ,
(CD)^T = 4&6&4 8&4&0 0&4&4
Já calculamos
A+B= -2&-7&-9 -8&-5&-12 -11&-13&-8 , tfrac12(A+B)= -1&-tfrac72&-tfrac92 -4&-tfrac52&-6 -tfrac112&-tfrac132&-4
Logo
(CD)^T-tfrac12(A+B) = 4-(-1)&6-(-tfrac72)&4-(-tfrac112)[6pt] 8-(-4)&4-(-tfrac52)&0-(-6)[4pt] 0-(-tfrac112)&4-(-tfrac132)&4-(-4) = 5&tfrac192&tfrac192[4pt] 12&tfrac132&6[4pt] tfrac112&tfrac212&8 ]

Resposta

(a)
A= 1 & -6 & -10 0 & 1 & -8 2 & -2 & 1 , B= -3 & -1 & 1 -8 & -6 & -4 -13&-11&-9
(b) a=-tfrac113,;b=tfrac213
(c)
(CD)^T-tfrac12(A+B) = 5 & tfrac192 & tfrac192 12 & tfrac132 & 6 tfrac112 & tfrac212 & 8

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