Em vez de usar das definições usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^2 a partir das operações definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c x1+c-1, c y1+c-1, c z1+c-1), com c in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que R^3, equipado com a “adição”
(x1,y1,z1)oplus(x2,y2,z2) =(x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1)
e a “multiplicação por escalar”
lambdaodot(x,y,z) =(lambda x+lambda-1,;lambda y+lambda-1,;lambda z+lambda-1),
é um espaço vetorial sobre R. Para isso vamos verificar os axiomas: comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e as propriedades de compatibilidade e distributividade da multiplicação por escalar.

Passo 2

Comutatividade da adição. Dados
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2),
temos
uoplus v =(x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1),
voplus u =(x2+x1+1,;y2+y1+1,;z2+z1+1)
Como a soma em R é comutativa, cada componente coincide, logo
;uoplus v=voplus u.

Passo 3

Associatividade da adição. Dados
u=(x1,y1,z1),;v=(x2,y2,z2),;w=(x3,y3,z3),
calculemos
(uoplus v)oplus w =l((x1+x2+1)+x3+1,,(y1+y2+1)+y3+1,,(z1+z2+1)+z3+1r)
=(x1+x2+x3+2,;y1+y2+y3+2,;z1+z2+z3+2)
Por outro lado,
uoplus(voplus w) =l(x1+(x2+x3+1)+1,;y1+(y2+y3+1)+1,;z1+(z2+z3+1)+1r)
também dá
;(x1+x2+x3+2,;y1+y2+y3+2,;z1+z2+z3+2).
Logo
(uoplus v)oplus w = uoplus(voplus w).

Passo 4

Existência do elemento neutro aditivo. Buscamos theta=(a,b,c) tal que, para todo u=(x,y,z),
uoplus theta = (x+a+1,;y+b+1,;z+c+1) overset!= (x,y,z)
Isto obriga a=b=c=-1. Portanto
theta=(-1,-1,-1)
é o neutro, pois uoplus(-1,-1,-1)=u.

Passo 5

Existência de inverso aditivo. Dado u=(x,y,z), queremos u'=(x',y',z') tal que
uoplus u' = (-1,-1,-1)
Isso significa
(x+x'+1,;y+y'+1,;z+z'+1)=(-1,-1,-1),
daí
x'=-x-2, y'=-y-2, z'=-z-2
Logo o inverso de u é
-u =(-x-2,,-y-2,,-z-2),
e de fato uoplus(-u)=(-1,-1,-1).

Passo 6

Compatibilidade de escalares. Para lambda,muinR e u=(x,y,z),
muodot u = (mu x+mu-1,;mu y+mu-1,;mu z+mu-1)
Aplicando lambda,
lambdaodot(muodot u) =l(lambda(mu x+mu-1)+lambda-1,dotsr) =(lambdamu x+lambdamu-1,;lambdamu y+lambdamu-1,;lambdamu z+lambdamu-1),
que é exatamente
(lambdamu)odot u.

Passo 7

Unidade escalar. Para todo u=(x,y,z),
1odot u = (1cdot x+1-1,;1cdot y+1-1,;1cdot z+1-1)=(x,y,z)

Passo 8

Distributividade. Primeiro,
lambdaodot(uoplus v) =lambdaodot(x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1)
=(lambda(x1+x2+1)+lambda-1,dots) =(lambda x1+lambda-1,dots)oplus(lambda x2+lambda-1,dots) =lambdaodot u;oplus;lambdaodot v
Em seguida,
(lambda+mu)odot u =((lambda+mu)x+(lambda+mu)-1,dots),
lambdaodot uoplusmuodot u =(lambda x+lambda-1 + mu x+mu-1 +1,dots) =((lambda+mu)x+(lambda+mu)-1,dots)
Logo
(lambda+mu)odot u = lambdaodot u oplus muodot u.

Resposta

Todos os axiomas de espaço vetorial estão verificados. Portanto R^3, com as operações oplus e odot dadas, é um espaço vetorial sobre R.

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