Em vez de usar das definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operações definidas abaixo:
Adição:
/ Multiplicação por um escalar:
, com
.
Adição:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, equipado com a “adição”
e a “multiplicação por escalar”
é um espaço vetorial sobre
. Para isso vamos verificar os axiomas: comutatividade e associatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e as propriedades de compatibilidade e distributividade da multiplicação por escalar.
Passo 2
Comutatividade da adição. Dados
temos
Como a soma em
é comutativa, cada componente coincide, logo
.
Passo 3
Associatividade da adição. Dados
calculemos
Por outro lado,
também dá
.
Logo
.
Logo
Passo 4
Existência do elemento neutro aditivo. Buscamos
tal que, para todo
,
Isto obriga
. Portanto
é o neutro, pois
.
Passo 5
Existência de inverso aditivo. Dado
, queremos
tal que
Isso significa
daí
Logo o inverso de
é
e de fato
.
Passo 6
Compatibilidade de escalares. Para
e
,
Aplicando
,
que é exatamente
.
Passo 7
Unidade escalar. Para todo
,
Passo 8
Distributividade. Primeiro,
Em seguida,
Logo
.
Resposta
Todos os axiomas de espaço vetorial estão verificados. Portanto
, com as operações
e
dadas, é um espaço vetorial sobre
.