Exercício 24. Determine a distância da reta r:lx=3 y=4 z = t ao plano x O y

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
,r:x=3,;y=4,;z=t
e pede a distância dessa reta ao plano xOy. O plano xOy é definido por
z=0
Em geometria analítica no espaço, a distância entre uma reta e um plano é o menor valor de distância entre qualquer ponto da reta e o plano. Se a reta intersecta o plano, essa distância é zero; se for paralela, calculamos a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.

Passo 2

A reta r tem vetor diretor
,vec d=(0,0,1)
e o plano xOy tem vetor normal
,vec n=(0,0,1).
Como vec d é paralelo a vec n, a reta é perpendicular ao plano. Para ver se há interseção, impomos
z=t=0
na reta, obtendo o ponto
P0=(3,4,0)
Esse ponto satisfaz tanto a equação da reta quanto a equação do plano, logo há interseção.

Passo 3

Quando uma reta intersecta um plano, existe ponto em comum e, portanto, a distância mínima entre eles é zero.

Resposta

A distância da reta r ao plano xOy é 0.

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