Questão 5. (valor 1,5) Calcule a derivada direcional da funçāo f(x, y, z)=y^{2}-x y+z^{2} no ponto ( 2,1,-1 ) e na direçio \vec{w}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados nos são fornecidos.
  • A função é f(x,y,z)=y^{2}-x y+z^{2}.
  • O ponto onde devemos calcular a derivada direcional é (2,1,-1).
  • A direção é dada por \vec{w}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}, isto é, o vetor \vec{w}=(1,-1,1).
O pedido: calcular a derivada direcional de f no ponto (2,1,-1) na direção de \vec{w}.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como a calculamos (fórmula e significado).
  • A derivada direcional de f no ponto \mathbf{a} na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de \mathbf{a} exatamente na direção \mathbf{u}, por unidade de comprimento nessa direção.
  • A fórmula prática é
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Observação importante: a direção na fórmula deve ser um vetor unitário \mathbf{u}. Se for dado um vetor qualquer \vec{w}, deve-se primeiro normalizá-lo: \mathbf{u}=\dfrac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}, com \|\vec{w}\| a norma (comprimento) do vetor.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Aqui aplico as regras usuais de derivação tratando as outras variáveis como constantes.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}-x y+z^{2}\bigr)=-y.
Explicação: y^{2} e z^{2} são constantes ao derivar em x; -x y visto como -y\cdot x tem derivada -y.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}-x y+z^{2}\bigr)=2y-x.
Explicação: y^{2} deriva para 2y; -x y visto como -x\cdot y deriva para -x; z^{2} é constante.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}-x y+z^{2}\bigr)=2z.
Logo o gradiente geral é
\boxed{\nabla f(x,y,z)=(-y,\;2y-x,\;2z).}

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,1,-1).
  • Substituindo x=2, y=1, z=-1 em \nabla f:
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(2,1,-1)}=-y=-1,
\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(2,1,-1)}=2y-x=2\cdot1-2=0,
\frac{\partial f}{\partial z}\bigg|_{(2,1,-1)}=2z=2\cdot(-1)=-2.
Portanto
\boxed{\nabla f(2,1,-1)=(-1,\;0,\;-2).}

Passo 5

Obter o vetor unitário na direção de \vec{w}=(1,-1,1).
  • Norma de \vec{w}:
\|\vec{w}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
  • Vetor unitário:
\mathbf{u}=\frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1).
Lembrete: precisamos do vetor unitário porque a derivada direcional é por unidade de comprimento.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário.
  • Produto escalar do gradiente com \vec{w} primeiro (mais simples então dividir pela norma):
\nabla f(2,1,-1)\cdot\vec{w}=(-1,0,-2)\cdot(1,-1,1)=(-1)\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot1 = -1 + 0 -2 = -3.
  • Dividindo pela norma \sqrt{3} para usar o vetor unitário:
D_{\mathbf{u}}f(2,1,-1)=\frac{\nabla f(2,1,-1)\cdot\vec{w}}{\|\vec{w}\|}=\frac{-3}{\sqrt{3}}.
  • Simplificando:
\frac{-3}{\sqrt{3}}=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o valor -\sqrt{3} significa que, ao mover-se a partir de (2,1,-1) na direção indicada por \vec{i}-\vec{j}+\vec{k} com velocidade unitária, a função f diminui a uma taxa de \sqrt{3} unidades por unidade de comprimento nessa direção. Tá indo bem — esse procedimento (gradiente, vetor unitário, produto escalar) é a receita padrão para essas questões.

Resposta

-\sqrt{3}

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