Questão 5. (valor 1,5) Calcule a derivada direcional da funçāo f(x, y, z)=y^{2}-x y+z^{2} no ponto ( 2,1,-1 ) e na direçio \vec{w}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados nos são fornecidos.
A função é f(x,y,z)=y^{2}-x y+z^{2}.
O ponto onde devemos calcular a derivada direcional é (2,1,-1).
A direção é dada por \vec{w}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}, isto é, o vetor \vec{w}=(1,-1,1).
O pedido: calcular a derivada direcional de f no ponto (2,1,-1) na direção de \vec{w}.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como a calculamos (fórmula e significado).
A derivada direcional de f no ponto \mathbf{a} na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de \mathbf{a} exatamente na direção \mathbf{u}, por unidade de comprimento nessa direção.
Observação importante: a direção na fórmula deve ser um vetor unitário \mathbf{u}. Se for dado um vetor qualquer \vec{w}, deve-se primeiro normalizá-lo: \mathbf{u}=\dfrac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}, com \|\vec{w}\| a norma (comprimento) do vetor.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f. Aqui aplico as regras usuais de derivação tratando as outras variáveis como constantes.
Interpretação rápida e incentivo: o valor -\sqrt{3} significa que, ao mover-se a partir de (2,1,-1) na direção indicada por \vec{i}-\vec{j}+\vec{k} com velocidade unitária, a função f diminui a uma taxa de \sqrt{3} unidades por unidade de comprimento nessa direção. Tá indo bem — esse procedimento (gradiente, vetor unitário, produto escalar) é a receita padrão para essas questões.