Questão 6. (valor 1,0) A fímçīo diferenciável
é dada implicitamente pela equaçāo
, onde
é suposta diferenciável e
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
onde
é diferenciável e
. Pede-se a derivada parcial
.
Informações importantes a listar:
Informações importantes a listar:
- A função incógnita é
. - A diferenciação pedida é parcial em relação a
, isto é, deve-se considerar fixo. - Denotaremos
por e por ; esses serão avaliados no ponto . - Observação técnica: para isolar
aparecerá um fator no denominador; como foi dado , será preciso também para que a divisão faça sentido e para que o Teorema da Função Implícita assegure localmente como função de .
Passo 2
Estratégia: aplicar diferenciação implícita na igualdade dada, derivando ambos os lados em relação a
com
constante, e usar a regra da cadeia. Relembrando a regra da cadeia para função de duas variáveis: se
então
onde
e
são as derivadas parciais de
. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas das funções internas (com
fixo):
-
. -
, porque é constante e usa-se a derivada parcial de em relação a .
Derivar o lado direitocom fixo: usar ,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo e igualando à derivada do lado direito, obtemos
Passo 5
Isolar
. Reescrevendo a equação:
Dividindo por
(exigindo
e usando
),
Podemos escrever de forma um pouco mais compacta:
Comentário: esta expressão vale quando
(assim
). Se
, a equação original vira
e, em geral, não determina
, de modo que a derivada
não pode ser obtida por esse procedimento sem hipóteses adicionais.