Questão 6. (valor 1,0) A fímçīo diferenciável z=z(x, y) é dada implicitamente pela equaçāo f(x+y, x z)=\frac{x}{y}, onde f(u, v) é suposta diferenciável e \frac{\partial f}{\partial v}(u, v) \neq 0. Determine \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
f(x+y,\;x z)=\frac{x}{y},
onde f(u,v) é diferenciável e \dfrac{\partial f}{\partial v}(u,v)\neq 0. Pede-se a derivada parcial \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações importantes a listar:
  • A função incógnita é z=z(x,y).
  • A diferenciação pedida é parcial em relação a y, isto é, deve-se considerar x fixo.
  • Denotaremos \dfrac{\partial f}{\partial u} por f_u e \dfrac{\partial f}{\partial v} por f_v; esses serão avaliados no ponto \big(u,v\big)=(x+y,\;x z(x,y)).
  • Observação técnica: para isolar \dfrac{\partial z}{\partial y} aparecerá um fator x f_v no denominador; como foi dado f_v\neq 0, será preciso também x\neq 0 para que a divisão faça sentido e para que o Teorema da Função Implícita assegure z localmente como função de x,y.

Passo 2

Estratégia: aplicar diferenciação implícita na igualdade dada, derivando ambos os lados em relação a y com x constante, e usar a regra da cadeia. Relembrando a regra da cadeia para função de duas variáveis: se F(y)=f\big(g(y),h(y)\big) então
\frac{dF}{dy}=f_u\big(g(y),h(y)\big)\,g'(y)+f_v\big(g(y),h(y)\big)\,h'(y),
onde f_u e f_v são as derivadas parciais de f. Aqui g(y)=x+y e h(y)=x z(x,y).

Passo 3

Calcular as derivadas das funções internas (com x fixo):
  • \dfrac{d}{dy}(x+y)=1.
  • \dfrac{d}{dy}\big(x z(x,y)\big)=x\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}, porque x é constante e usa-se a derivada parcial de z em relação a y.
    Derivar o lado direito \dfrac{x}{y} com x fixo: usar x\cdot y^{-1},
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{x}{y}\right)=x\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{-1}\big)=x\cdot(-1)y^{-2}=-\frac{x}{y^2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo e igualando à derivada do lado direito, obtemos
f_u\big(x+y,\;x z\big)\cdot 1 \;+\; f_v\big(x+y,\;x z\big)\cdot x\frac{\partial z}{\partial y} \;=\; -\frac{x}{y^2}.

Passo 5

Isolar \dfrac{\partial z}{\partial y}. Reescrevendo a equação:
f_v\big(x+y,\;x z\big)\,x\,\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} - f_u\big(x+y,\;x z\big).
Dividindo por x f_v (exigindo x\neq 0 e usando f_v\neq 0),
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-\dfrac{x}{y^2} - f_u\big(x+y,\;x z\big)}{x\,f_v\big(x+y,\;x z\big)}.
Podemos escrever de forma um pouco mais compacta:
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{f_u\big(x+y,\;x z\big)+\dfrac{x}{y^2}}{x\,f_v\big(x+y,\;x z\big)}.
Comentário: esta expressão vale quando x\neq 0 (assim \partial F/\partial z=x f_v\neq0). Se x=0, a equação original vira f(y,0)=0 e, em geral, não determina z, de modo que a derivada \partial z/\partial y não pode ser obtida por esse procedimento sem hipóteses adicionais.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{f_u\big(x+y,\;x z(x,y)\big)+\dfrac{x}{y^2}}{x\,f_v\big(x+y,\;x z(x,y)\big)},\quad\text{(válido para }x\neq 0\text{).}á

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