Questāo 3. (valor 2,0 ) Considere a funçāo g(t)=e^{2 t} f\left(t^{2}, t^{3}\right), onde f(x, y) é uma funçāo dadn, definida e diferenciável em num aberto do R^{2}. Expresse g^{\prime}(t) em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por
g(t)=e^{2t}\,f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr),
onde f(x,y) é dada, definida e diferenciável em um aberto de \mathbb{R}^{2}. A tarefa é: expressar g'(t) em termos das derivadas parciais de f.
Informações relevantes que foram fornecidas:
  • A expressão explícita de g(t): g(t)=e^{2t}f(t^{2},t^{3}).
  • A função f é diferenciável (ou seja, possui derivadas parciais f_{x} e f_{y} contínuas no ponto em questão).
  • Não foram dados valores numéricos específicos de t nem de f; precisa-se uma expressão simbólica para g'(t).

Passo 2

Lembrete útil: quando uma função é produto de duas funções de t, usa-se a regra do produto. Se h(t)=u(t)\,v(t), então
h'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Aqui temos u(t)=e^{2t} e v(t)=f(t^{2},t^{3}). Primeiro vamos derivar u(t)=e^{2t}.
Calcular u'(t): a derivada de e^{2t} em relação a t é obtida por derivação composta (regra da cadeia simples para exponencial). A derivada de e^{2t} é 2e^{2t}. Em notação:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr)=2e^{2t}.

Passo 3

Agora precisamos de v'(t), ou seja, da derivada em relação a t de v(t)=f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr). Aqui usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se F(t)=f\bigl(u(t),v(t)\bigr) com f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} diferenciável e u(t),v(t) funções de t, então
\frac{d}{dt}f\bigl(u(t),v(t)\bigr)=f_{x}\bigl(u(t),v(t)\bigr)\,u'(t)+f_{y}\bigl(u(t),v(t)\bigr)\,v'(t).
Aqui f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente; u'(t) e v'(t) são as derivadas das funções internas.

Passo 4

Identificamos as funções internas no nosso caso:
u(t)=t^{2},\qquad v(t)=t^{3}.
Calculamos as derivadas dessas funções internas:
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t, \qquad v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para v(t)=f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) obtemos
\frac{d}{dt}f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) = f_{x}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\cdot 2t + f_{y}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\cdot 3t^{2}.
Aqui cada termo tem significado claro:
  • f_{x}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada no ponto (x,y)=(t^{2},t^{3}).
  • f_{y}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) é a derivada parcial de f em relação a y, avaliada no mesmo ponto.
  • Multiplicamos cada parcial pela taxa de variação da correspondente variável interna ( 2t para t^{2}, 3t^{2} para t^{3}).

Passo 6

Agora voltamos à regra do produto para g(t)=u(t)\,v(t). Substituindo u'(t)=2e^{2t}, u(t)=e^{2t} e v'(t) encontrado no passo anterior:
g'(t)=2e^{2t}\,f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) + e^{2t}\Bigl(f_{x}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\cdot 2t + f_{y}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\cdot 3t^{2}\Bigr).

Passo 7

Podemos, se quisermos, fatorar e^{2t} para deixar a expressão mais compacta:
g'(t)=e^{2t}\Bigl(2\,f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) + 2t\,f_{x}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr) + 3t^{2}\,f_{y}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\Bigr).

Passo 8

Pequena verificação por exemplo: se tomarmos f(x,y)=x+y, então f_{x}=1 e f_{y}=1. Substituindo na fórmula:
g(t)=e^{2t}\bigl(t^{2}+t^{3}\bigr),
g'(t)=e^{2t}\Bigl(2(t^{2}+t^{3}) + 2t\cdot 1 + 3t^{2}\cdot 1\Bigr).
Expandindo e simplificando isso coincide com a derivada direta por produto e soma, o que dá confiança na fórmula geral.

Resposta

g'(t)=2e^{2t}f\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)+e^{2t}\Bigl(2t\,f_{x}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)+3t^{2}\,f_{y}\bigl(t^{2},t^{3}\bigr)\Bigr)

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