Questāo 3. (valor 2,0
Considere a funçāo
, onde
é uma funçāo dadn, definida e diferenciável em num aberto do
. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
é dada, definida e diferenciável em um aberto de
. A tarefa é: expressar
em termos das derivadas parciais de
.
Informações relevantes que foram fornecidas:
- A expressão explícita de
: . - A função
é diferenciável (ou seja, possui derivadas parciais e contínuas no ponto em questão). - Não foram dados valores numéricos específicos de
nem de ; precisa-se uma expressão simbólica para .
Passo 2
Lembrete útil: quando uma função é produto de duas funções de
, usa-se a regra do produto. Se
, então
Aqui temos
e
. Primeiro vamos derivar
.
Calcular
: a derivada de
em relação a
é obtida por derivação composta (regra da cadeia simples para exponencial). A derivada de
é
. Em notação:
Passo 3
Agora precisamos de
, ou seja, da derivada em relação a
de
. Aqui usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
com
diferenciável e
funções de
, então
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente;
e
são as derivadas das funções internas.
Passo 4
Identificamos as funções internas no nosso caso:
Calculamos as derivadas dessas funções internas:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
obtemos
Aqui cada termo tem significado claro:
-
é a derivada parcial de em relação a , avaliada no ponto . -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada no mesmo ponto. - Multiplicamos cada parcial pela taxa de variação da correspondente variável interna (
para , para ).
Passo 6
Agora voltamos à regra do produto para
. Substituindo
,
e
encontrado no passo anterior:
Passo 7
Podemos, se quisermos, fatorar
para deixar a expressão mais compacta:
Passo 8
Pequena verificação por exemplo: se tomarmos
, então
e
. Substituindo na fórmula:
Expandindo e simplificando isso coincide com a derivada direta por produto e soma, o que dá confiança na fórmula geral.