O que se pede: calcular as derivadas parciais f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) na origem usando a definição por limite (ou seja, sem usar regras abreviadas — aplicar diretamente a definição).
Informações relevantes fornecidas:
A fórmula para f(x,y) quando (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
O valor em (0,0) é f(0,0)=0.
As derivadas parciais na origem deverão ser calculadas como limites unidirecionais (ver definição no próximo passo).]
Passo 2
Definição por limite das derivadas parciais na origem (explicando cada pedaço):
A derivada parcial em x na origem é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo em 0. Pela definição,
Aqui h é um pequeno incremento em x; o numerador é a variação de f provocada por esse pequeno incremento e o denominador normaliza por h, dando uma “inclinação” ao longo do eixo x (com y=0 fixo).
A derivada parcial em y na origem é a taxa de variação quando só y varia e x fica fixo em 0. Pela definição,
Esse quociente é igual a 0 para todo h\neq0, portanto o limite quando h\to0 é 0. Logo
f_{y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0.
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: geometricamente, f_{x}(0,0)=1 significa que, movendo-se ao longo do eixo x a partir da origem (com y=0), a função cresce com inclinação 1 naquele ponto; já f_{y}(0,0)=0 diz que ao mover-se ao longo do eixo y (com x=0) inicialmente não há variação linear da função. Mandou bem por trazer essa questão — esse tipo de exercício cai bastante em provas; pratique mais casos em que a simplificação não é tão direta para ficar afiado!