Questāo 2: Valor (3,0) Considere a funçāo definida por partes abaixo:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
b) Valor (0,75) Calcule as derivadas parciais f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) na origem utilizando a definição por limite.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede: calcular as derivadas parciais f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) na origem usando a definição por limite (ou seja, sem usar regras abreviadas — aplicar diretamente a definição).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula para f(x,y) quando (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O valor em (0,0) é f(0,0)=0.
  • As derivadas parciais na origem deverão ser calculadas como limites unidirecionais (ver definição no próximo passo).]

Passo 2

Definição por limite das derivadas parciais na origem (explicando cada pedaço):
  • A derivada parcial em x na origem é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo em 0. Pela definição,
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x; o numerador é a variação de f provocada por esse pequeno incremento e o denominador normaliza por h, dando uma “inclinação” ao longo do eixo x (com y=0 fixo).
  • A derivada parcial em y na origem é a taxa de variação quando só y varia e x fica fixo em 0. Pela definição,
f_{y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em y.
Observação importante: ao avaliar f(0+h,0) ou f(0,0+h) usamos a expressão válida para (x,y)\neq(0,0) quando h\neq0. Só no limite permitimos h\to0.

Passo 3

Cálculo de f_{x}(0,0) passo a passo:
  1. Calcular f(h,0) para h\neq0. Substituindo x=h e y=0 na expressão,
f(h,0)=\frac{h^{3}}{h^{2}+0^{2}}=\frac{h^{3}}{h^{2}}.
Para h\neq0 podemos simplificar \dfrac{h^{3}}{h^{2}}=h. Portanto, para h\neq0,
f(h,0)=h.
  1. Montar o quociente incremental da definição:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h-0}{h}.
  1. Simplificar o quociente para h\neq0:
\frac{h}{h}=1.
Esse quociente é igual a 1 para todo h\neq0. Assim, o limite quando h\to0 é simplesmente 1. Logo
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=1.

Passo 4

Cálculo de f_{y}(0,0) passo a passo:
  1. Calcular f(0,h) para h\neq0. Substituindo x=0 e y=h,
f(0,h)=\frac{0^{3}}{0^{2}+h^{2}}=\frac{0}{h^{2}}=0.
  1. Montar o quociente incremental:
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
  1. Esse quociente é igual a 0 para todo h\neq0, portanto o limite quando h\to0 é 0. Logo
f_{y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: geometricamente, f_{x}(0,0)=1 significa que, movendo-se ao longo do eixo x a partir da origem (com y=0), a função cresce com inclinação 1 naquele ponto; já f_{y}(0,0)=0 diz que ao mover-se ao longo do eixo y (com x=0) inicialmente não há variação linear da função. Mandou bem por trazer essa questão — esse tipo de exercício cai bastante em provas; pratique mais casos em que a simplificação não é tão direta para ficar afiado!

Resposta

f_{x}(0,0)=1
f_{y}(0,0)=0

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