Questão 3. (Valor 1,0) Considere os seguintes conjuntos
é LI e
é LD.
.
( )
é Ll.
( ) O subconjunto
de é Ll.
( ) O subconjunto
de é LD.
( ) O subconjunto
é sempre LD.
( ) O conjunto
pode ser é LD.
( )
( ) O subconjunto
( ) O subconjunto
( ) O subconjunto
( ) O conjunto
Passo 1
O enunciado fala de dois subconjuntos de um espaço vetorial
:
que é linearmente independente (LI) e
que é linearmente dependente (LD).
Precisamos avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre independência ou dependência linear de certos subconjuntos formados a partir de e
.
Precisamos avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre independência ou dependência linear de certos subconjuntos formados a partir de
Passo 2
Qualquer conjunto que contenha um conjunto LD é também LD. Como
é LD, o supremo
contém
e, portanto, não pode ser LI. Logo, a primeira afirmação é falsa.
Passo 3
Todo subconjunto de um conjunto LI é LI. Como
é LI, qualquer seleção de três dos seus vetores — em particular
— também é LI. Logo, a segunda afirmação é verdadeira.
Passo 4
Um único vetor
só é LD se esse vetor for o vetor nulo. Não há informação de que
seja nulo, e o fato de
ser LD não obriga
a ser zero (poderia ser
o dependente). Portanto, o conjunto unitário
não é necessariamente LD, e a terceira afirmação é falsa.
Passo 5
Um par
extraído de um conjunto LD de três vetores não precisa ser LD: a dependência em
pode envolver apenas
. Logo, a quarta afirmação (“é sempre LD”) é falsa.
Passo 6
O conjunto
pode ser LD se, por exemplo,
e
já estiverem no span de
. Portanto, é possível que esse conjunto seja LD, e a quinta afirmação é verdadeira.
Resposta
(F)
é LI.
(V) O subconjunto é LI.
(F) O subconjunto é LD.
(F) O subconjunto é sempre LD.
(V) O conjunto pode ser LD.
(V) O subconjunto
(F) O subconjunto
(F) O subconjunto
(V) O conjunto