Questão 3. (Valor 1,0) Considere os seguintes conjuntos A=a1, a2, a3, a4, a5 é LI e B=b1, b2, b3 é LD. A in B subset V.
( ) A cup B é Ll.
( ) O subconjunto A=a1, a2, a3 de é Ll.
( ) O subconjunto B=b1 de é LD.
( ) O subconjunto B=b1, b2 é sempre LD.
( ) O conjunto a1, a2, a3, b1, b2 pode ser é LD.

Passo 1

O enunciado fala de dois subconjuntos de um espaço vetorial V:
,A=a1,a2,a3,a4,a5 que é linearmente independente (LI) e
,B=b1,b2,b3 que é linearmente dependente (LD).
Precisamos avaliar a veracidade de cinco afirmações sobre independência ou dependência linear de certos subconjuntos formados a partir de A e B.

Passo 2

Qualquer conjunto que contenha um conjunto LD é também LD. Como B é LD, o supremo Acup B contém B e, portanto, não pode ser LI. Logo, a primeira afirmação é falsa.

Passo 3

Todo subconjunto de um conjunto LI é LI. Como A é LI, qualquer seleção de três dos seus vetores — em particular a1,a2,a3 — também é LI. Logo, a segunda afirmação é verdadeira.

Passo 4

Um único vetor b1 só é LD se esse vetor for o vetor nulo. Não há informação de que b1 seja nulo, e o fato de B ser LD não obriga b1 a ser zero (poderia ser b3 o dependente). Portanto, o conjunto unitário b1 não é necessariamente LD, e a terceira afirmação é falsa.

Passo 5

Um par b1,b2 extraído de um conjunto LD de três vetores não precisa ser LD: a dependência em B pode envolver apenas b3. Logo, a quarta afirmação (“é sempre LD”) é falsa.

Passo 6

O conjunto a1,a2,a3,b1,b2 pode ser LD se, por exemplo, b1 e b2 já estiverem no span de a1,a2,a3. Portanto, é possível que esse conjunto seja LD, e a quinta afirmação é verdadeira.

Resposta

(F) Acup B é LI.
(V) O subconjunto a1,a2,a3 é LI.
(F) O subconjunto b1 é LD.
(F) O subconjunto b1,b2 é sempre LD.
(V) O conjunto a1,a2,a3,b1,b2 pode ser LD.

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