Questão 2. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços
W=(1,1,0),(0,0,2),(2,2,-4)

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço WsubseteqR^3 gerado pelos vetores
v1 = (1,1,0), v2 = (0,0,2), v3 = (2,2,-4)
e pede para determinar uma base de W e sua dimensão. Vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Para ver se os vetores são linearmente independentes, verificamos se existe escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0)
Em vez de resolver todo o sistema, notamos que
2,v1 - 2,v2 = 2,(1,1,0) - 2,(0,0,2) = (2,2,0) - (0,0,4) = (2,2,-4) = v3
Isso mostra que v3 é combinação linear de v1 e v2.

Passo 3

Como v3 depende de v1 e v2, basta ficar com v1,v2. Esses dois vetores são independentes (não há combinação não trivial que os torne zero), logo formam uma base de W.

Resposta

Uma base de W é
(1,1,0),,(0,0,2),
e a dimensão de W é 2.

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