Questão 2. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços
W=(x, y, z, t) in R^4 / x-y-z+t=0

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z,t)in R^4 mid x - y - z + t = 0
e pede uma base de W e sua dimensão. Vamos usar resolução de sistema homogêneo: isolar uma variável e expressar o vetor genérico em parâmetros livres.

Passo 2

Da equação
x - y - z + t = 0
segue
x = y + z - t
Tomamos y, z e t como parâmetros livres, digamos y=s, z=u, t=v. Então
(x,y,z,t) = (s+u-v,;s,;u,;v)

Passo 3

Escrevendo em combinação linear dos parâmetros s,u,v:
(s+u-v,;s,;u,;v) = s,(1,1,0,0);+;u,(1,0,1,0);+;v,(-1,0,0,1)
Logo (1,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1) gera W.

Passo 4

Esses três vetores são visivelmente LI (nenhum é combinação linear dos outros) e geram todo W. Logo formam uma base, e como há 3 vetores,
dim(W)=3

Resposta

Uma base é
(1,1,0,0),;(1,0,1,0),;(-1,0,0,1)
e dim(W)=3.

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