Questão 4. (Valor 1,0) Determine uma base e a dimensão do espaço solução do sistema abaixo:
31(b)
c x+y+z=6 2 x-y+z=3 x+2 y-z=0
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos dois sistemas lineares em que precisamos encontrar a base e a dimensão do espaço solução (ou seja, o núcleo, para o caso homogêneo, e o “espaço afim de soluções” no caso não homogêneo). Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e parametrizar as variáveis livres.
Passo 2
Analisando o sistema homogêneo
x - y - z - t = 0, 3x - y + 2z - 4t = 0, 3x - y + 7z - 3t = 0,
fazemos:
Da primeira equação, x = y + z + t.
Substituindo em 3x - y + 2z -4t=0 e em 3x - y +7z -3t=0, obtemos 2y +5z - t = 0 e 2y +10z = 0
Da segunda vem t = 2y+5z; da terceira vem y=-5z. Logo y=-5z, t=-5z, x=y+z+t=-9z
Colocando z=s como parâmetro livre, a solução geral é (x,y,z,t) =s,(-9,,-5,,1,,-5), sinR
Isto mostra que o núcleo é um subespaço unidimensional.
Passo 3
Agora o sistema não homogêneo
x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 0
pode ser resolvido por substituição:
De x+y+z=6 vem x=6-y-z.
Substituindo em 2x - y + z =3 e em x+2y - z=0, obtemos 3y+z=9, y-2z=-6
Destas duas equações achamos z=277, y=127, x=;6-127-277=37
Não há parâmetro livre, portanto a solução é única. O conjunto de soluções é o ponto l(tfrac37,tfrac127,tfrac277r), que formam um espaço afim de dimensão zero e cujo núcleo (a parte homogênea) tem dimensão zero (base vazia).
Resposta
Questão 4 (homogêneo):
Base (-9,-5,1,-5), dimensão 1.
31(b) (não homogêneo):
Solução única l(tfrac37,tfrac127,tfrac277r); espaço afim de dimensão 0 (núcleo de dimensão 0, base vazia).