Questão 4. (Valor 1,0) Determine uma base e a dimensão do espaço solução do sistema abaixo:
l x-y-z-t=0 3 x-y+2 z-4 t=0 3 x-y+7 z-3 t=0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo com quatro incógnitas (x,y,z,t) e pede a base e a dimensão do espaço solução. O conteúdo aqui é núcleo (espaço nulo) de uma matriz, e vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada reduzida, identificar variáveis livres e escrever a solução geral em função delas.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada e aplicamos operações elementares para chegar ao escalonamento:
1 & -1 & -1 & -1 & 0 3 & -1 & 2 & -4 & 0 3 & -1 & 7 & -3 & 0
R 1 é a primeira linha; eliminamos abaixo de R 1:
R 2 \leftarrow R 2 - 3cdotR 1Rightarrow (0,2,5,-1mid0)
R 3 \leftarrow R 3 - 3cdotR 1Rightarrow (0,2,10,0mid0)

Passo 3

Continuamos o escalonamento:
Dividimos R 2 por 2Rightarrow R 2= (0,1,5/2,-1/2mid0)
Eliminamos R 3 usando R 2: R 3 \leftarrow R 3 - 2cdotR 2Rightarrow R 3= (0,0,5,1mid0)
Dividimos R 3 por 5Rightarrow R 3= (0,0,1,1/5mid0)
Agora voltamos para zerar acima dos pivôs em colunas 2 e 3:
R 2 \leftarrow R 2 - ( 5/ 2)\cdot R 3Rightarrow R 2= (0,1,0,-1mid0)
R 1 \leftarrow R 1 + R 3Rightarrow (1,-1,0,-4/5mid0)
R 1 \leftarrow R 1 + R 2Rightarrow (1,0,0,-9/5mid0)
Ficamos com a forma reduzida
1 & 0 & 0 & -tfrac95 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac15 & 0

Passo 4

Das equações em forma reduzida temos
x - tfrac95,t = 0, y - t = 0, z + tfrac15,t = 0,
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x = tfrac95,t, y = t, z = -tfrac15,t, t = t
Tomando t como parâmetro livre, escrevemos a solução geral
(x,y,z,t) = tl(tfrac95,1,-tfrac15,1r)
Para simplificar, escolhemos o vetor
v = (9,5,-1,5),
pois tfrac15v = (tfrac95,1,-tfrac15,1). Assim o núcleo é de dimensão 1 e tem base v.

Resposta

Base do espaço solução: (9,5,-1,5)
Dimensão: 1

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