Questão 3. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
$\mathrm{W}=[(1,0,0),(0,3,-2),(2,3,-2),(3,6,-4)]

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço WsubseteqR^3 gerado pelos vetores (1,0,0), (0,3,-2), (2,3,-2) e (3,6,-4). O conteúdo é base e dimensão de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos identificar um conjunto de vetores independentes que gere W.

Passo 2

Verificamos se os dois primeiros vetores são independentes. Tome
v1=(1,0,0), v2=(0,3,-2)
Como não existe escalar lambda tal que v2=lambda v1 (os suportes não coincidem), concluímos que v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 3

Mostramos que os outros dois vetores são combinações lineares de v1 e v2. De fato,
(2,3,-2)=2,(1,0,0)+1,(0,3,-2)=2,v1+v2,
(3,6,-4)=3,(1,0,0)+2,(0,3,-2)=3,v1+2,v2
Assim, (2,3,-2) e (3,6,-4) não trazem novas direções além das de v1 e v2.

Passo 4

Como todo gerador de W pode ser escrito em função de v1 e v2, e estes são independentes, o conjunto v1,v2 é uma base de W. O número de vetores dessa base é a dimensão de W.

Resposta

A base escolhida é (1,0,0),(0,3,-2) e dim(W)=2.

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