Questão 3. (Valor 2,0) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
$\mathrm{W}=[(1,0,0),(0,3,-2),(2,3,-2),(3,6,-4)]
$\mathrm{W}=[(1,0,0),(0,3,-2),(2,3,-2),(3,6,-4)]
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
gerado pelos vetores
,
,
e
. O conteúdo é base e dimensão de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos identificar um conjunto de vetores independentes que gere
.
Passo 2
Verificamos se os dois primeiros vetores são independentes. Tome
Como não existe escalar
tal que
(os suportes não coincidem), concluímos que
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Mostramos que os outros dois vetores são combinações lineares de
e
. De fato,
Assim,
e
não trazem novas direções além das de
e
.
Passo 4
Como todo gerador de
pode ser escrito em função de
e
, e estes são independentes, o conjunto
é uma base de
. O número de vetores dessa base é a dimensão de
.
Resposta
A base escolhida é
e
.