As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Suponha que a coluna 5 de U não tenha pivô. Então x5 é uma variável . O vetor zero (é) (não é) a única solução para A x=0. Se A x=b tem uma solução, então tem soluções.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema Aboldsymbol x=boldsymbol b por eliminação gaussiana, obtendo uma solução particular boldsymbol xp e a solução geral do homogêneo boldsymbol xn. Para isso, devemos escalonar A até obter uma matriz triangular superior U, identificar as colunas-pivô e as variáveis livres, e então analisar o sistema homogêneo e o não homogêneo.

Passo 2

Ao escalonar A obtemos uma forma U em que a coluna 5 não contém pivô. Isso implica que a variável ,x5 não aparece em nenhuma equação de pivô, ou seja, ,x5 é uma variável livre. Sempre que há variável livre, o sistema homogêneo
Aboldsymbol x=0
admite soluções não triviais (basta atribuir um parâmetro a essa variável), de modo que o vetor zero não é a única solução.

Passo 3

Para o sistema não homogêneo Aboldsymbol x=boldsymbol b, se existe uma solução particular boldsymbol xp, então a solução geral é
boldsymbol x = boldsymbol xp + boldsymbol xn,
sendo boldsymbol xn qualquer vetor do espaço nulo de A. Como já há pelo menos uma variável livre, o espaço nulo é de dimensão >=1 e gera infinitas escolhas para boldsymbol xn, resultando em infinitas soluções para o sistema não homogêneo.

Resposta

x5 é variável livre.
O vetor zero não é a única solução para Aboldsymbol x=0.
Se Aboldsymbol x=boldsymbol b tem uma solução, então tem infinitas soluções.

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