QUESTÃO 3 (VALOR: 2,5) Encontre os limites quando x \rightarrow \infty e quando x \rightarrow-\infty. Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico de y=x^{2}-x^{6}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude o comportamento de
y = x^{2} - x^{6}
quando x \to +\infty e x \to -\infty, encontre as intersecções com os eixos e, com tudo isso, faça um esboço do gráfico. Vamos usar noções de limite, fatoração para achar zeros e derivadas para entender máximos e mínimos.

Passo 2

Para x\to+\infty o termo dominante é -x^{6}, pois cresce mais rápido que x^{2}. Logo,
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}-x^{6}\bigr) =\lim_{x\to+\infty}\bigl(-x^{6}(1 - x^{-4})\bigr) =-\infty.
Como x^{6} é par, para x\to-\infty também vale
\lim_{x\to-\infty}\bigl(x^{2}-x^{6}\bigr)=-\infty.

Passo 3

Intersecção com o eixo x obtém-se y=0:
x^{2} - x^{6} = x^{2}(1 - x^{4}) = 0 \implies x=0,\;x^{4}=1\implies x=\pm1.
Intersecção com o eixo y é x=0, daí y=0. Logo os zeros são x=-1,0,1.

Passo 4

Para achar máximos e mínimos, calcule a derivada
y' = 2x - 6x^{5} = 2x\,(1 - 3x^{4}).
Zera em x=0 e em 1 - 3x^{4}=0\Rightarrow x^{4}=\tfrac13, ou seja
x = \pm\bigl(\tfrac13\bigr)^{1/4}.
Chamando a = (1/3)^{1/4}, o valor de y nesses pontos é
y(a)=a^{2}-a^{6} =(1/3)^{1/2} - (1/3)^{3/2} =\frac{1}{\sqrt3}\Bigl(1-\tfrac13\Bigr) =\frac{2}{3\sqrt3}.
Analisando o sinal de y', conclui-se que em x=\pm a há máximos locais e em x=0 um mínimo local (pois y' muda de – para +).

Passo 5

Com tudo isso, o esboço é uma curva par, que:
  • Para x\to\pm\infty desce para -\infty.
  • Tem zeros em -1,0,1.
  • Possui máximos locais em x=\pm a\approx\pm0{,}76 com y=2/(3\sqrt3)\approx0{,}385.
  • Tem mínimo local em x=0, y=0 (a curva “toca” o eixo x sem passar para y<0 ali).
    Entre esses pontos, basta ligar suavemente respeitando a paridade (simetria em torno do eixo y).

Resposta

Limites:
\lim_{x\to+\infty}(x^{2}-x^{6})=-\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}(x^{2}-x^{6})=-\infty.
Interceptos: zeros em x=-1,0,1.
Pontos críticos: máximos locais em x=\pm(1/3)^{1/4}, y=2/(3\sqrt3); mínimo local em (0,0).
Esboço: curva par que sai de -\infty, sobe a máximo em \pm0{,}76, desce cruzando em \pm1, toca em (0,0) e volta a -\infty.

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