Encontre a área sob a curva y=f(x), no intervalo dado:
f(x)=e^{x}, \quad[1,3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob a curva y=f(x)=e^x no intervalo [1,3]. O conteúdo envolve integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que, se F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Passo 2

Escrevemos a integral definida que representa a área:
\int_{1}^{3}e^x\,dx.

Passo 3

Identificamos a antiderivada de e^x. Como
\frac{d}{dx}\bigl(e^x\bigr)=e^x,
temos
\int e^x\,dx=e^x+C.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada entre 1 e 3:
\int_{1}^{3}e^x\,dx =\bigl[e^x\bigr]_{1}^{3} =e^3 - e^1 =e^3 - e.

Resposta

e^3 - e

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