Uma formiga se desloca sobre a superfície de uma esfera cujo raio é b. O movimento está dado em coordenadas esféricas pelas equações:
r=b, \psi=\omega t, \theta=\frac{\pi}{2}\left[1+\frac{1}{4} \cos (4 \omega t)\right]
Determine a velocidade da formiga como função do tempo. Que tipo de trajetória representam estas equações?

Passo 1

O enunciado descreve uma formiga se movendo sobre uma esfera de raio b com coordenadas esféricas dadas por \;r=b,\;\psi=\omega t,\;\theta=\tfrac{\pi}{2}\bigl[1+\tfrac14\cos(4\omega t)\bigr].
Queremos (1) a velocidade escalar v(t) e (2) caracterizar geometricamente a trajetória. Para isso vamos usar a expressão da velocidade em coordenadas esféricas e depois interpretar a relação entre \theta e \psi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas a magnitude da velocidade é
v = \sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\theta^2 +r^2\sin^2\!\theta\,\dot\psi^2}\,.
Como r=b é constante, temos \dot r=0, logo
v = b\,\sqrt{\dot\theta^2 + \sin^2\!\theta\,\dot\psi^2}\,.

Passo 3

Calculamos as derivadas angulares: \psi=\omega t implica \dot\psi=\omega.
Para \theta=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{8}\cos(4\omega t)
temos
\dot\theta =\frac{\pi}{8}\bigl(-4\omega\sin(4\omega t)\bigr) =-\frac{\pi\omega}{2}\,\sin(4\omega t).

Passo 4

Substituindo em
v = b\sqrt{\dot\theta^2 + \sin^2\!\theta\,\omega^2}
vem
v(t) = b\,\sqrt{\Bigl(\frac{\pi\omega}{2}\Bigr)^{\!2}\sin^2(4\omega t)\;+\;\omega^2\sin^2\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{8}\cos(4\omega t)\Bigr)}.
Como \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}+A\bigr)=\cos A, podemos escrever
v(t) = b\omega\,\sqrt{\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^2\sin^2(4\omega t)\;+\;\cos^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\cos(4\omega t)\bigr)}.

Passo 5

Note que \theta oscila em torno de \pi/2 com amplitude \pi/8 enquanto \psi cresce uniformemente. A relação
\theta-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{8}\cos\bigl(4\psi\bigr)
é análoga à curva “rosa” (rhodonea) no plano, porém projetada na esfera. Como a razão das frequências é racional 4:1, a curva fecha-se e faz 4 oscilações de latitude a cada volta completa em longitude.

Resposta

A velocidade escalar é
v(t) = b\omega\,\sqrt{\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^2\sin^2(4\omega t)\;+\;\cos^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\cos(4\omega t)\bigr)}.
A trajetória é uma curva fechada de tipo “rosa esférica” (spherical rhodonea) com quatro oscilações de latitude a cada volta completa em longitude.

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