Uma formiga se desloca sobre a superfície de uma esfera cujo raio é b. O movimento está dado em coordenadas esféricas pelas equações:
Determine a velocidade da formiga como função do tempo. Que tipo de trajetória representam estas equações?
Passo 1
O enunciado descreve uma formiga se movendo sobre uma esfera de raio
com coordenadas esféricas dadas por
Queremos (1) a velocidade escalar e (2) caracterizar geometricamente a trajetória. Para isso vamos usar a expressão da velocidade em coordenadas esféricas e depois interpretar a relação entre
e
.
Queremos (1) a velocidade escalar
Passo 2
Em coordenadas esféricas a magnitude da velocidade é
Como
é constante, temos
, logo
Passo 3
Calculamos as derivadas angulares:
implica
Para
temos
Para
temos
Passo 4
Substituindo em
vem
Como
, podemos escrever
Passo 5
Note que
oscila em torno de
com amplitude
enquanto
cresce uniformemente. A relação
é análoga à curva “rosa” (rhodonea) no plano, porém projetada na esfera. Como a razão das frequências é racional
, a curva fecha-se e faz 4 oscilações de latitude a cada volta completa em longitude.
Resposta
A velocidade escalar é
A trajetória é uma curva fechada de tipo “rosa esférica” (spherical rhodonea) com quatro oscilações de latitude a cada volta completa em longitude.